Tables de logarithmes à cinq décimales pour les nombres et les lignes ...

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tfàtL 9~sr,(s/,

SCIENCE CENTER LIBRARY

THE BEQUEST OF

EVERT JANSEN WENDELL

CLASS OF 1882
OF NEW YORK

1918

P, - L " : - Mo**; 'xty^hrj,

TABLES

DE LOGARITHMES

A CINQ DÉCIMALES

POUR LES NOMBRES ET LES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES ,

DES LOGARITHMES D'ADDITION Ef DE SOUSTRACTION OU LOGAMTHJES DE 6AUSS,
ET D8 DIVERSES TABLES USUELLES,

Par J. HOU EL,

Ancien Élève de l'École Normale» Professeur de Mathématiques pures
à la Faculté des Sciences' de Bordeaux.

L'introduction de cet ouvrage dans les Ëcoles publiques est autorisée
par décision du Ministre de l'Instruction publique et des Cultes.

NOUVEIjIjE EUITIOIV

REVUE ET AUGMENTÉE.

PARIS,

G AUTHIER-VILLARS , IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DO BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,

SUCCESSEUR DE MALLET-BÀCHELIER ,

Quai des Augustins, 55.

1867

L'Auteur et l'Editeur de cet Ouvrage se réservent le droit de le reproduire on de le
faire traduire en toutes langues. Ils poursuivront, en vertu des Lois, Décrets et Traités
internationaux, toutes contrefaçons ou toutes traductions faites au mépris de leurs droits.

Le dépôt légal de cet Ouvrage a été fait à Paris dans le cours de 1867, et toutes les
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la France a conclu des conventions littéraires.

Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci-dessous, la
griffe du Libraire-Editeur, sera réputé contrefait. Les mesures nécessaires seront prises
pour atteindre, conformément à la loi, les fabricants et les débitants de ces exemplaires.

^vs^t

4£Sl<*

Parit. — Imprimerie de GAUTHIER- V1LLARS, rue de Selne-Saist-Germaln, 10, près l'institut.

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.
Avertissement v

Introduction. — Disposition et usage des Tables xi

Recueil de formules et de nombres usuels, avec leurs logarithmes. ...... xxxv

I. Table des logarithmes des nombres entiers depuis i jusqu'à 10800.. . 1

Tables pour la conversion des degrés , minutes et secondes en parties
décimales du rayon et du quadrant; des minutes et secondes en
parties décimales du degré; des degrés et minutes en secondes, et
réciproquement 38

n. Table des logarithmes des sinus, des tangentes et des sécantes, de

minute en minute, pour tous les degrés du quart de cercle 3q

Table des lignes trigonométriques naturelles, avec des Tables auxi-
liaires pour la conversion des heures, minutes et secondes en par-
ties sexagésimales du cercle et en parties décimales du jour 86

ni. Table des logarithmes d'addition et de soustraction 87

Tables pour la conversion des logarithmes naturels en logarithmes
vulgaires, et réciproquement 104

IV. Table des logarithmes de divers nombres usuels à 8 et à 10 déci-
males io5

Table des logarithmes à 8 décimales des nombres entiers depuis
100 jusqu'à 1000 106

Y. Table pour le calcul des logarithmes à 20 décimales 109

VI. Tables de logarithmes à 4 et à 3 décimales 1 10

Table d'anti-logarithmes à 4 décimales % 112

Table de logarithmes naturels à 4 décimales 114

VII. Table des plus petits diviseurs des nombres composés non divisibles

par 2, 3, 5, 11 116

Vm. Tables des lignes trigonométriques naturelles à 10 décimales, et des

longueurs des arcs en parties du rayon 118

f'I

AVERTISSEMENT

SECONDE ÉDITION.

Ce recueil se compose principalement d'une reproduction des
Tables de Laiande, avec quelques additions destinées k en faciliter
l'usage. Nous; avons joint, comme complément, d'autres Tables dont
on verra plus loin le détail, et parmi lesquelles se trouve la première
édition française des Tables des logarithmes d'addition etde soustrac-
tion, inventés par Leonelli, et connus généralement sous le nom de
logarithmes de Gauss.

Les modifications que toous avons apportées aux Tables de Laiande
sont les suivantes :

i°. L'agrandissement du format, qui, en diminuant de beaucoup le
nombre des pages à feuilleter, nous a en outre permis diverses addi-
tions utiles;

a°. La suppression des caractéristiques dans la Table des loga-
rithmes des nombres; *

3°. L'introduction de Tables auxiliaires donnant les parties pro-

Sortionnelles des différences, non-seulement pour les logarithmes
es nombres, mais encore pour ceux des lignes trigonométriques;

4°. Le rétablissement, dans les Tables trigonométriques, des loga-
rithmes des sécantes, que le défaut d'espace avait fait supprimer par
la plupart des auteurs, et qui sont cependant très-commodes, en
dispensant de l'emploi des compléments arithmétiques dans les cal-
culs de trigonométrie;

5°. La Table des logarithmes des nombres a été prolongée jusqu'à
10800, nombre des secondes contenues dans 3 degrés;

6°. En tête des diverses colonnes de cette Table, nous avons inscrit
les valeurs correspondantes des logarithmes des rapports du sinus
et de la tangente à l'arc exprimé en secondes, et par ce moyen cette
Table peut remplacer avantageusement, pour les trois premiers de-
grés, la Table trigonométrique proprement dite;

7 . Pour les petits arcs, l'usage des lignes trigonométriques natu-
relles est souvent plus commode que celui de leurs logarithmes,
ceux-ci se prêtant mal à l'interpolation. Nous donnons en consé-

n

[ vi J AVERTISSEMENT.

quence , dans nos Tables trigonométriques, les valeurs naturelles des
sinus et des tangentes pour les trois premiers degrés*

Avec ces modifications de détail , nous avons conservé ce qui
constitue essentiellement, selon nous, le grand mérite des Tables de
Lalande, la simplicité de leur disposition, qui permet au commen-
çant de s'initier sans difficulté à l'usage des logarithmes, en même
temps qu'elle soulage l'attention du calculateur, et qu'elle diminue
ses chances d'erreur dans une longue suite d'opérations. Le seul
reproche que l'on puisse faire à cette disposition à simple entrée,
c'est d'augmenter le volume des Tables. Mais ce reproche a ici peu
de gravite , les logarithmes des nombres n'occupant que 36 pages de
notre recueil, et nous n'aurions pas beaucoup gaghé à en réduire
un peu l'étendue, en nous privant des avantages que nous venons
de signaler.

Les logarithmes d'addition et de soustraction , connus générale-
ment sous le nom de logarithmes de Gauss , ont pour but de faire
trouver, par une seule lecture dans la Table, le logarithme de la
somme ou de la différence de deux nombres, donnés par leurs loga-
rithmes. Ils ont été inventés, au commencement de ce siècle, par
l'Italien Leonelli, qui exposa sa découverte dans un opuscule très-
rare, imprimé à Bordeaux, en l'an XI, sous le titre de Simplement
logarithmique [*]. L'auteur y donne un spécimen d'une Table à qua-
torze décimales qu'il se proposait de construire. Mais le peu de fa-r
veur avec lequel ses travaux furent d'abord accueillis, le fit renoncer
à la construction , ou du moins à la publication de cette Table. Cepen-
dant une traduction allemande du Simplement logarithmique, faite
en 1806, tomba entre les mains de Gauss, qui, non moins habile
calculateur que profond géomètre , comprit l'utilité pratique de cette
nouvelle méthode, et construisit lui-même de petites Tables à cinq
décimales sur le plan proposé par l'inventeur. Ces Tables, publiées
cour la première fois en 181 2, dans la Correspondance de Zach, ont
été reproduites, quelquefois avec des modifications plus ou moins
heureuses, dans la plupart des recueils de Tables imprimés, depuis
cette époque, en AU&nagne, en Angleterre et même en Italie.

Nous allons donner en quelques mots une idée du projet de Léo-
nelliy tel qu'il a été exécuté par Gauss, et nous arriverons ensuite
aux modifications que nous avons apportées nous-même à la dispon
sition de ces Tables.

A

B

DIF.

C

DIF.

59
58

59
59

o,i5o
o,i5i
o,i5a
o,i53
o,i54

0,23247
0, 23206
o,a3i65

0,23 Hfc3

0,23082

41
41

4^
4i
4i

0,38247
o,383o6
0,38365
o,38423
o,38482

[*] Voir ce les Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XII, page 171, et tome X,
page 288.

AVERTISSEMENT. [ vil ]

La Table de Gauss , dont nous donnons ici un spécimen , se com-
pose de trois colonnes, désignées par les lettres

A, B, C-,

et représentant respectivement les valeurs des quantités

iog#, logfn-^J, logi

x étant un nombre qui varie depuis i jusqu'à l'infini positif. La Table
fait ainsi connaître les valeurs de B et de C qui répondent à des va-
leurs de A croissant en progression arithmétique à partir de zéro.
D'après la définition de ces quantités, on a évidemment entre elfes la
relation

A-f-B = C.

Soient donnés maintenant les logarithmes de deux nombres a,b,
dont a est le plus grand.
i°. Si l'on pose

il est aisé de voir que Ton a (B et G étant les nombres de la Table
correspondants à cette valeur de A) ,

log (a-4-6) = loga-h-B = log 6-h C ;

d'où l'on voit que le problème de l'addition peut se résoudre de deux
manières différentes, soit en modifiant lôg a, soit en modifiant
log 6.

a
2 . Si t< 2 > en posant

log|*=B,
on aura de même

log [a — b) =loga — C = log6 — A.
Mais, si t> a, on posera

logf = C,

d'où résulte

log (a— rb) = log a — B = log6-t-A.

Il y a donc deux cas dans le problème de la soustraction , chacun
d'eux admettant encore deux solutions, où Ton modifie soit log a,
soit log b. Mais ces deux cas ne sont pas essentiellement distincts,
et l'on pourrait les réduire à un seul en doublant, comme l'a fait
Shortrede, l'étendue de la Table [*].

[*] Il est aisé de voir, en effet, que, si Ton remplace x par -> ou A par —A,
B et G se changent réciproquement l'un dans l'autre.

[ toi ] ÀVHITISSBMENT.

On voit donc, en résumé, que l'usage de (a Table de Gauss comporte
deux méthodes différentes, dont la première consiste à modifier le
plus grand des deux logarithmes donnés, et la seconde à modifier le
plus petit.

Les Tables ainsi disposées sont d'une construction facile, et se
prêtent à des usages variés. Mais elles présentent des inconvénients
réels, que Leonelli avait déjà entrevus. Lorsqu'on applique au pro-
blème de la soustraction la première méthode, recommandée par
Gauss, on est obligé, pour passer de la valeur de B à la valeur corres-
pondante de G, ou vice versa, d'employer une double interpolation,
exigeant, au lieu d'une seule opération de multiplication ou de divi-
sion, une règle de trois complète, absolument comme pour trouver le
cosinus d'un arc donné par son sinus. Cet inconvénient est atténué,
il est vrai, par l'ingénieuse disposition des Tables des parties propor-
tionnelles des différences qui accompagnent les petites Tables de
Gauss. Mais il rend très-incommode, comme Gauss Ta reconnu lui-
même, l'usage des Tables plus étendues construites sur le même plan.
Aussi les Tables à sept décimales publiées par Matthiessen (Altona,
1817), et disposées comme les Tables de Gauss, sont-elles peu em-

ployé

)n éviterait, à la vérité, la double interpolation pour rentrer dans
le cas des Tables ordinaires, si l'on adoptait, au moins pour la sous-
traction, la seconde méthode, celle qui consiste a modifier le plus
petit logarithme. Mais cette seconde méthode entraine des inconvé-
nients bien autrement graves dans le cas, très-fréquent, où l'un des
deux logarithmes donnés est beaucoup plus grand que l'autre. Dans ce
cas, ep effet, pour obtenir log (a±b) avec autant de décimales que
l'on en donne pour log a, il n'est pas toujours nécessaire que log b
soit connu avec la même approximation, et la première méthode est
en cela d'accord avec la nature même de la question : car le nombre B
variant très-lentement lorsque A et C sont très-grands, il en résulte
que, vers la fin de la Table, les dernières décimales de A et de G sont
sans influence sur les dernières décimales de B. Si l'on emploie, au
contraire, la seconde méthode, on obtiendra, pour log [a±b), autant
de décimales seulement que l'on en donne pour log 6. Ajoutons à

cela que, dans le cas de ▼ très-grand, le calcul par la première mé-
thode se fait en opérant seulement sur les derniers chiffres de log a,
au lieu que, par la seconde méthode, on a, dans tous les cas, à
modifier entièrement tous les chiffres de log b [*].

On remédie à ces inconvénients en renonçant à l'emploi de la se-
conde méthode, et séparant la Table de Gauss en deux parties, l'une
pour les logarithmes d'addition, l'autre pour les logarithmes de sous-
traction. C'est la marche qu'a suivie M. Zech dans la construction de
ses grandes Tables à sept décimales, qui font partie de la nouvelle
édition des Tables de Fega{Samrnlung mat hematischer Tafeln f etc.),
publiée à Leipzig, en 1849, P ar le docteur Huhse.

[*] Voyez August, Vollstœndige log. und trig. Tafeln, Berlin, 1846; Filipowski, Table
0/ anti-loiarithms, etc., Londres, 1849; Wittstbih, Funfstellige log.- trig. Tafeln, Ha-
novre, i85g.

àyerussement. [ « j

La Table d'addition de Zech a, comme celle de Gausa, poiàr argu-
ment le nombre À, et donne les valeurs correspondantes de B. La
Table de soustraction a pour argument le nombre B, et donne les
valeurs correspondantes de C. Mais lorsque B est très-petit, te plus
légère variation de ce nombre en produit une considérable dans la
valeur de G. De là la nécessité de faire varier B par intervalles tris-
petits au commencement de la Table, ce qui augmente considérable-
ment le volume de celle-ci, et encore ne donne-t*elle d'abord les va-
leurs de G qu'avec quatre, cinq ou six décimales.

Ces diverses considérations nous ont conduit à adopter, en la mo-
difiant un peu, la disposition générale de M. Zech. Nous avons séparé
comme lui la Table d'addition de la Table de soustraction ; mais dans
cette dernière, c'est le nombre C que nous avons pris pour argument.
Cette disposition inverse permet d'abréger l'étendue de la Table, sans
diminuer l'approximation qu'on en peut attendre.

Nous avons calculé ces Tables par interpolation, avec deux déci-
males de plus que nous n'en conservons, et en poussant même l'ap-
proximation plus loin, toutes les fois qu'il pouvait rester quelque
doute sur la cinquième décimale. Nous les avons ensuite collation-
nées avec diverses éditions des Tables de Gauss, et avec les Tables
de Zech.

Parmi les autres additions que nous avons faites aux Tables de
Lalande, nous citerons un recueil de Tables de conversion des arcs
en parties décimales du rayon, du quadrant, etc., et réciproque-
ment;

Une Table à trois décimales des valeurs naturelles des fonctions
trigonométriques, de degré en degré;

Une Table des logarithmes à nuit décimales des nombres depuis
100 jusqu'à iooo, à l'aide de laquelle on peut obtenir très-prompte-
ment, avec sept ou huit figures exactes, le logarithme d'un nombre
quelconque, ou le nombre correspondant à un logarithme donné.

Pour obtenir une approximation plus grande encore, et pour ainsi
dire indéfinie, nous avons extrait du Supplément logarithmique
de Leonelli une Table d'une seule page, qui permet de calculer avec
vingt décimales le logarithme correspondant a un nombre donné, ou
vice versa, dans le même temps que l'on emploierait à faire une
multiplication abrégée avec ce nombre de chiffres.

Pour les cas très-fréquents où Ton peut se contenter d'une moindre
approximation que celle que donnent les Tables à cinq décimales,
nous avons construit une Table de logarithmes à quatre décimales,
contenue tout entière dans deux pages en regard, ainsi que deux au-
tres petites Tables donnant, l'une les logarithmes, l'autre les anti-
logarithmes avec trois figures seulement.

Lorsqu'on veut revenir du logarithme au nombre , il y a un grand
avantage à se servir des Tables anti-logarithmiques, ayant pour argu-
ment la partie décimale du logarithme, et dans lesquelles les diffé-
rences tabulaires sont d'autant plus petites que celles de la partie
correspondante des Tables logarithmiques ordinaires sont plus consi-
dérables. Nous avons ajouté, à Ja petite Table à trois figures contenue
dans la précédente édition, une Table plus étendue d'anti-logarithmes
à quatre figures.

Là Table suivante renferme les logarithmes naturels ou hjrperboli-

[ X ] AVERTISSEMENT.

Jues des iooo premiers nombres, avec quatre décimales, et nous
onnons le moyen d'en tirer immédiatement ie logarithme naturel
d'un nombre quelconque, en dehors des limites de la Table.

Notre volume est terminé par une Table des plus petits diviseurs
des nombres jusqu'à 10841, et par une Table abrégée pouvant faire
connaître avec dix décimales exactes les lignes trigonométciques na-
turelles d'un arc quelconque.

Nous avons enfin place à la suite de l'Introduction un recueil
étendu de formules d'Algèbre et de Trigonométrie, et un tableau de
divers nombres usuels avec leurs logarithmes. Ce recueil forme, avec
l'Introduction, une première Partie qui peut se détacher du volume
ou des Tables proprement dites, suivant la commodité du lecteur.

[XI]

INTRODUCTION.

DISPOSITION ET USAGE DES TABIES.

Table des logarithmes des nombres, à cinq décimales.

Pour faire usage des Tables de logarithmes, il faut savoir résoudre les deux
problèmes suivants :

I. Un nombre étant donné, trouver son logarithme.
La détermination d'un logarithme se compose de deux parties :
i°. Détermination de la caractéristique. — Si Ton donne un nombre entier ou
un nombre décimal ayant une partie entière, la caractéristique est égale à autant
d'unités, moins une, qu'il y a de chiffres dans le nombre entier ou dans la partie
entière du nombre décimal. Ainsi, les caractéristiques des logarithmes des
nombres

46a, i5 9 3,4a, 61*87
seront respectivement

2, 3, o.

Si l'on donne un nombre décimal sans partie entière, la caractéristique est né-
gative, et sa valeur numérique est égaie au nombre des zéros qui précèdent le pre-
mier chiffre significatif, y compris le zéro qui est à gauche de la virgule. En d'au-
tres termes , la caractéristique , abstraction faite du signe, indique le numéro
d'ordre du premier chiffre significatif à partir de la virgule. Ainsi, aux nombres v

o,43, o,oo5ai

correspondent respectivement les caractéristiques

2 . Détermination de la mantisse [*]. — Si le nombre donné, abstraction faite
de la virgule, ne contient pas plus de quatre chiffres significatifs [**], on trou-
vera immédiatement dans la Table la mantisse de son logarithme.

Si le nombre se compose de plus de quatre chiffres significatifs, on considérera
les quatre premiers chiffres à gauche comme représentant la partie entière et les
chiffres suivants comme une fraction décimale, et l'on ajoutera au logarithme de
la partie entière le produit de cette fraction décimale par la différence tabulaire
placée «ntre ce logarithme et le suivant.

Exemple I. — Si Ton veut le logarithme du nombre 35678, après avoir déter-
miné la caractéristique 4, on cherchera la mantisse du logarithme de 3567,8,
laquelle est égale (page i3) à celle du logarithme de 3567 ou à 5523o, plus le
produit de la différence tabulaire 12 par 0,8, c'est-à-dire 9,6, ou simplement 10,
en se bornant à la partie entière. La mantisse du logarithme cherché sera donc
55^40, et le logarithme lui-même sera 4,5524o.

[*] À l'exemple des auteurs allemands et de plusieurs auteurs français, nous em-
ploierons cette dénomination abrégée pour désigner la partie d'un nombre décimal qui
est à droite de la virgule.

[**] Notre Table étant prolongée jusqu'à 10800, tout ce que nous dirons des nombres
•de quatre chiffres s'appliquera évidemment aux nombres de cinq chiffres compris entre
10000 et 10800.

( o,6..
"" ( o,o 4 .

[ xii ] INTRODUCTION.

Exemple H. — De même, le logarithme de o,ou£564 aura pour caractéris-
tique 2, et pour mantisse (page 5) 07372+36 x 0,64 ou 07372+23,04, ou
enfin 07395, en négligeant les décimales. Le logarithme cherché est donr.
2,07395.

Les Tables de parties proportionnelles placées en marge, et contenant les par-
ties entières des produits des différences tabulaires par

0,1, p,a,..., 0,9,

ont pour but de faciliter les multiplications dont nous venons de parler. Ainsi ,
dans le premier exemple, on trouverait immédiatement 10 pour le produit de 12
par 0,8. Dans le second exemple, on trouverait, au moyen de la Table des par-
ties proportionnelles de 36,

22
M

Total (en négligeant les fractions) ... 23
H. Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant.

Ce problème se compose encore de deux parties :

i°. Détermination des chiffres significatifs. — Si le logarithme donné, réduit à
sa mantisse, se trouve exactement dans la Table, on aura immédiatement les
chiffres significatifs dont se compose le nombre cherché.

Si le logarithme est compris entre deux logarithmes consécutifs de la Table [*] 9
on prendra d'abord le nombre correspondant au plus petit de ces deux loga-
rithmes, et ce nombre formera les quatre premiers chiffres significatifs du nombre
cherché. Pour avoir le cinquième chiffre, et souvent même une valeur approchée
du sixième , on prendra la différence entre ce plus petit logarithme et le loga-
rithme donné ; on divisera cette différence par la différence tabulaire placée entre
les deux logarithmes consécutifs de la Table, et Ton écrira, à la suite des quatre
chiffres trouvés, le premier ou les deux premiers chiffres du quotient.

Exemple I. — Étant donné le logarithme 77323, on voit (page 21) qu'il est
compris entre les logarithmes de 5932 et de 5933. Donc les quatre premiers chiffres
du nombre cherché sont 5932. Pour avoir le cinquième , je divise la différence 3
entre le logarithme donné et celui de 5932 par la différence tabulaire 7, écrite
entre les logarithmes de 5932 et de 5o33. Le quotient est 0,4 ; donc 4 est le
cinquième chiffre du nombre cherché 59324.

On peut se servir, pour ces divisions, des Tables de parties proportionnelles.

Exemple II. — Soit donné le logarithme 121 37, on trouve (page 6)

Différence tabulaire = 33 ) ( I2Ia 1 22

Re6te=,4 P° Ur ' 3 °' 4 , *

1 \ 1,0 o,o3

Nombre cherché 1 32243

En effectuant directement la division, on aurait trouvé 132242.

2 . Position de la virgule. — Si la caractéristique est positive, on séparera par
la virgule, sur la gauche du nombre, autant de chiffres, plus un, qu'il y a d'uni-
tés dans la caractéristique. Ainsi, la mantisse 17609 correspondant aux chiffres
significatifs i5, le nombre correspondant au logarithme 4,17609 sera 16000. De
même le nombre correspondant au logarithme o, 121 37 sera 1 ,32243.

Si la caractéristique est négative, on écrira à la gauche du nombre autant de
zéros qu'il y a d'unités dans la caractéristique, et l'on séparera le dernier zéro à
gauche par une virgule. En d'autres termes, on placera la virgule de manière que
le premier chiffre significatif, en commençant par la gauche, se trouve avoir, à
partir de la virgule, un numéro d'ordre égal à la caractéristique, prise em valeur
absolue. Ainsi, le nombre correspondant au logarithme 3,77323 est 0,0059324.

[*] Nous supposons ici qu'il s'agit de la partie de la Table où les différences tabulaires
'sont marquées , et qui commence à la page S.

INTRODUCTION. [ xiii ]

Apre* la Table I, vient une Table auxiliaire (page 36) pour la conversion des
degrés, minutes et secondes en parties décimales du rayon, du quadrant, etc.
Quelques exemples feront suffisamment comprendre l'usage de cette Table.

L Convertir en parties de rayon l'angle de i4a°i8'43 ,6a.

Pour i quart de cercle 1^707 9^3 3

5o° 8746 646

a° 349 o65 9

10' ag 069

8' a3 271 1

4o* ; I 9^9

3* 145 4

o*,6 49 i

o # ,oa 10

somme a f 4838 149 8

L'arc donné a donc pour valeur en rayons a,483oi5o.

II. Convertir en degrés, minutes et secondes Parc de 35* r ,56893 = o*" - *, 35568ç3.

o^,3 27*

oS 4.3o'

oo5 27. 0*

0006 3.i4,4

00008 35,91

000009 a >9 l6

oooooo3 97a

somme 3a° o'43",33

III. Convertir Varc de 57° 17' 44", 81 en secondes.

Le degré valant 36oo secondes et la minute 60 secondes, on trouve, au moyen
de la Table des multiples de 36 et de 6 :

57° ao5aoo"

17' ioao

44,8i

somme 206264", 81

II.
Table des logarithmes des lignes trigonométriques.

Cette Table renferme les logarithmes des sinus, des tangentes et des sécantes
pour toutes les minutes du quadrant, et par suite aussi ceux des cosinus, des
cotangentes et des coséeantes des mêmes arcs.

Les sinus et les cosinus de tous les angles, ainsi crue les tangentes des angles
moindres que 45 degrés, étant des quantités moindres que l'unité, leurs loga-
rithmes doivent avoir des caractéristiques négatives; mais des raisons typogra-
phiques nous ont fait conserver l'ancien usage, qui consiste à introduire dans
les Tables ces logarithmes augmentés de 10 unités. Dans la pratique, on devra
remplacer les caractéristiques 6, 7, j*, 9 des colonnes marquées en haut Sinus,
Tang., Cosin., respectivement par 4,3,2, 7.

L'usage de cette Table dépend, comme pour la précédente, de la solution de
deux problèmes.

I. Un angle étant donné, trouver les logarithmes de ses lignes trigonomé-
triques.
Supposons d'abord que l'angle donné soit compris entre o et 90 degrés. S'il se

?

le

[ xiv ] INTRODUCTION.

compose seulement d'un nombre entier de deaprés et de minutes, on trouvera im-
médiatement dans la Table les logarithmes de ses lignes trigonométriques, en
observant que, pour les angles compris entre o et 45 deerés, la graduation se lit
en haut et à gauche de chaque page, tandis que, pour Tes angles compris entre
45 et 90 degrés , la graduation se lit en bas et à droite.

Si 1 angle donné renferme, outre les degrés et les minutes, des secondes ou des
fractions de seconde, on trouvera les logarithmes de ses lignes trigonométriques
au moyen d'une interpolation analogue à celle de la Table I. D faut seulement
remarquer que, pour le cosinus, la cotangente et la cosécante, le logarithme va
en diminuant lorsque l'angle croît; d'où il résulte que les différences et leurs
parties proportionnelles sont soustractives , au lieu d'être additioes, comme pour
les logarithmes des nombres et des autres lignes trigonométriques.

Nous n'entrerons pas dans de plus longs détails sur ces règles, que les exemples
suivants feront suffisamment comprendre.

Exemple I. — Soit proposé de trouver le logarithme sinus de Parc

« = i3»a3'4a*,5.

Cet arc est compris entre i3°a3', dont le logarithme sinus est 7, 36449, et i3°a4',
dont le logarithme sinus surpasse le précédent de 53 unités décimales du cin-

quième ordre» La variation du logarithme sinus étant sensiblement proportionnelle
le d'une minute , il s'ensuit qu'à un accroissement de

à celle de Parc dans l'intervalle <

£2 5
l'arc égal à 42", 5, ou à ± ^- de minute, correspond un accroissement du loga-

ii 5
rithme sinus égal aux - L ~ de 53 unités du cinquième ordre. Or

4^x53=38,
60

à moins d'une demi-unité près. Donc

log sin# =T, 36449 H- 38 = 7, 36487.

Cette interpolation exigeant une multiplication et une division, nous avons
construit des Tables des parties proportionnelles des différences, au moyen des-
quelles ce calcul peut se taire à simple vue. Ces Tables renferment les produits,
calculés à moins d'une demi-unité près, du soixantième de chaque différence ta-
bulaire par les nombres

6» 7, 8, 9, 10, 20, 3o, 4°> 5o.

En employant ces Tables dans l'exemple actuel, le calcul se fait de la manière
suivante :

; [ 0,5 0,44

Total (en négligeant les fractions) 37

à ajouter à log sin i3° a3' 7, 36449

logsino: 7,36486

Exemple D. — On demande le logarithme tangente de 49 35' 37*.

Part. prop. pour j

ar=49°35'37 ,r ) „ 4 4 3o" i3

Diff.tab. = 26 Part. prop. pour 3

Total 16

à ajouter à log tang 49° 35' 0,06978

log tangor 0,06994

I

INTRODUCTION.
Exemple m. — Trouver le logarithme cosinus de 7g a5' 16*, 7.

1 { 0,7.... o,e

fxvj

Diff.

Total 19

à retrancher de log cos 79 25' 7 , 26403

log cosx 1 , a6384

On pourrait rendre les parties proportionnelles additives, en comparant l'angle
donné à celui qui lui est immédiatement supérieur. Ainsi, dans cet exemple,
ar = 79°26'-43",3,

4o" 45

Part. prop. pour < 3. . 3,4

( o,3 o,34

Total 49

à ajouter à logcos79°a6' 7,26335

log cosx f, 26384

Exemple IV. — Trouver logarithme cosécante de 4° 18' 53",6.

x=4°i8'53",6) 1> f ( 5 f *\ t

DUT. tri». = 167 Part. prop. pour 3 8,4

l 0,6 1,7

Total 149

à retrancher de log coséc 4° 18' i,i25o6

logcoséca? 1,12357

On voit aisément comment on traiterait cet exemple par l'autre méthode [*].

Le mode d'interpolation que nous venons d'indiquer cesse d'être applicable , vers
les deux extrémités du quadrant, aux logarithmes de celles des lignes trigono-
métriques dont les valeurs deviennent très-petites ou très-grandes. Ainsi . pour
les arcs moindres que 3 degrés, ou plus grands que 87 degrés, il est préférable,
en pareil cas, de recourir à un autre procédé.

Première méthode. — Remarquons d'abord que, si les logarithmes des sinus
et des tangentes des petits arcs sont loin de croitre proportionnellement à ces
arcs, leurs sinus naturels et leurs tangentes naturelles, au contraire, offrent cette
proportionnalité avec d'autant plus d'approximation que les arcs sont plus petits.
On trouvera donc aisément ces quantités par interpolation, et de là on passera, si
l'on veut, à leurs logarithmes , au moyen de la Table I.

La Table n donne, pour les 3 premiers degrés, les sinus naturels et les tan-
gentes naturelles avec six décimales. Comme la tangente diffère très-peu du sinus,
nous avons écrit seulement les deux ou trois dernières décimales de la tangente,
les décimales précédentes lui étant communes avec le sinus. Nous indiquons par
un astérisque les cas où ces décimales communes doivent être augmentées d'une
unité en passant du sinus à la tangente, comme cela a lieu, par exemple, pour
tango 22^ dont la valeur est 0,006400.

L*] Le choix entre ces deux méthodes dépend uniquement de la sagacité du calcula-
teur, qui voit d'un coup d'oeil laquelle des deux lui fournira , dans chaque cas particu-
lier, les moyens les plus simples et les plus exacts. On peut même, dans le cas où les
différences sont naturellement additives , substituer souvent avec avantage l'interpola*
tion par soustraction à l'interpolation par addition que nous avons exposée.

[ xvi j ' INTRODUCTION.

Exemple I. — Trouver iogsin i° ia'43*,8.

*=,-. 2 '43',8U f |«f *9<

Diff.tab. = *>. Part.prop.pPur 3... »4,6

Total aia

à ajouter à sin nat. i° 12' 0,02094a

sin nat..? o,oau54

d'où Iogsin or a,3a539.

Exemple H. — Trouver log tang oPfc'zlfrf.

V 0,7 3,4

Total 139

à ajouter à tang nat. o°46' o,oi338a

tang nat. x o,oi35ai

d'où log tang x.... â,i3ioi.

On trouverait de môme le cosinus , la cotangente ou la cosécante d'un arc com-
pris entre 87 et 90 .

Pour avoir la tangente ou la sécante d'un arc très-voisin de 90 degrés, ou bien
la cotangente ou la cosécante d'un arc très-petit, on cherchera, dans le premier
cas, la cotangente ou le cosinus; dans le second, la tangente ou le sinus de l'angle
donné, et l'on prendra le cologarithme ou logarithme de l'inverse de la valeur
trouvée.

Exemple JR. — Trouver log séc 87 7' 11 ",4.

Dnr.tÉb. ssa9 o \ p° j 0>4 ;; 93

Total 55

à retrancher de cosin nat. 87°7' o,o5o3oa

cosin nat. x o,o5oa47

d'où logcosx 2, 701 ii

et log séc x 1,29889

Deuxième méthode. — Un autre moyen , plus commode et souvent plus exact,
fondé sur la même remarque que le précédent, consiste à réduire Tare très-petit
en secondes , et à ajouter au logarithme du nombre de secondes le logarithme du
rapport du sinus ou de la tangente à l'arc ainsi évalué. On se servira pour cela
des nombres en petits caractères placés en tête des colonnes de la Table I.

Au-dessus de chaque colonne marquée N est indiqué le nombre de degrés et
de minutes renfermé dans un quelconque des arcs exprimés en secondes par les
divers nombres de la colonne. Le nombre des secondes restantes est donne par la
première colonne à gauche de chaque page. Au-dessus de chaque colonne mar-
quée Log, , se trouve le logarithme qu'il faut ajouter à celui d'un quelconque des
nombres de secondes de la colonne N voisine, pour obtenir le logarithme (aug-
menté de 10 unités) du sinus de l'arc correspondant. Les deux chiffres places
à côté et séparés par unr ( ; ) sont ceux par lesquels il faut remplacer les deux
derniers chiffres du logarithme précédent, lorsqu au lieu du sinus on veut avoir la

Reprenons, à l'aide de ce procédé, les trois exemples précédents.

INTRODUCTION. [ xvn 1

Exemple I. — On trouve (page 16) i°.ia'43 w ,8 = 4363*\8.
log 4363,8 3,63986

log 8 -^ 8 4,6*554

somme — 10 unités a,3a54o = log sinar.

Exemple IL — On a x = 2788*,7.

loga788,7 3,4454o

**SJ 4,6856o

log tang# 2,1 3 100

Exemple m. — Le complément de x = 87 7' 1 i",4 ( qui s'obtient en retranchant
l'arc donné de 89 59' 60") est.r'= 2°52'48",6 = io368",6.

log io368,6 4,01572

log^ 4,6853ç>

logsinx' 2,70111

d*où log cosécr' = logsécar 1 ,29889.

Si Tare donné est compris entre 90 et 36o degrés, on commencera par en retran-
cher le plus grand multiple de 90 degrés qu'il contienne , et l'on saura ainsi à quel
quadrant appartient cet arc, ce qui déterminera d'abord les signes de ses lignes
trigonométnques .

Cette soustraction opérée, la question se ramènera à trouver les lignes trigono-
métriques de l'angle restant, qui sera moindre que 90 degrés, et que nous appel-
lerons, pour un instant, angle réduit. On observera, pour cela, la règle suivante :

Si Pangle proposé est dans le premier au dans le troisième quadrant, c'est-à-
dire, s'il diffère de Pangle réduit cP un multiple pair fifa quadrant, on cherchera
pour Pangle réduit la MEME ligne trigonométrique que pour Pangle proposé.

Si Pangle proposé est dans le deuxième ou dans le quatrième quadrant, c'est-à-
dire s'il diffère de Pangle réduit d'un multiple impair du quadrant, on cherchera pour
Pangle réduit la ligne trigonométrique complémentaire de celle que Pon 'veut avoir
pour Pangle proposé ( c'est-à-dire que pour avoir le sinus, la tangente ou la sécante
de l'angle proposé , on cherchera respectivement le cosinus , la cotangente où la
cosécante de l'angle réduit, et vice versa. )

Ces règles se trouvent résumées dans le Tableau suivant 4 , où x représente l'angle
donné , a l'angle réduit.

1 er QUADRANT

3* QUADRANT

3 e QUADRANT

4 e QUADRANT

X=û.

x = 90 -+• a.

x=z i8o°-t-a.

x = 270 -+- a.

sittx

4- sina

4- cosa

— sina

— cosa

cosécx

4- coséca

-+- séca

— coséca

— séca

tangx

4- tanga

— cota

4- tanga

— cota

COtar

4- cota

— tanga

4- cota

— tanga

séex

4- séca

— coséca

— séca

4- coséca

COSâr

4- cosa

— sina

-* cosa

4- sina

r xviii | INTRODUCTION.

Par exemple , si Ton demande log sin 3i2°22' 35", l'angle étant dans le quatrième
quadrant, le sinus sera négatif et aura la même valeur numérique que le cosinus de
1 angle diminué de 270 degrés, c'est-à-dire que cos 42°22' 35*. Ce cosinus a pour
logarithme 7 ,86849. Donc en plaçant, suivant l'usage, devant le logarithme le
signe du nombre correspondant , on a

log sin 3ia° 22' 35* = — 7,86849.

x Si l'angle proposé est plus grand que 36o degrés, ou s'il est négatif, on le dimi-
nuera ou on l'augmentera d'un nombre suffisant de circonférences, pour le ramener
au cas précédent.

H. Connaissant le logarithme de tune des lignes trigonométriques a* un angle,
trouver cet angle .

Supposons d'abord que l'on sache que l'angle cherché appartient au premier qua-
drant. Si le logarithme donné se trouve dans la colonne de la Table correspon-
dante à l'espèce de la ligne trigonométrique, on aura immédiatement l'angle cherché
en degrés et minutes.

Si le logarithme donné se trouve entre deux logarithmes consécutifs de la Table,
alors l'angle contiendra des fractions de minuté. Pour les obtenir, on multipliera
60 secondes par la différence entre le logarithme donné et celui qui répond à
l'angle immédiatement inférieur, divisée par la différence tabulaire correspondante
au même intervalle que le logarithme donné. On pourra employer pour cette opé-
ration les Tables de parties proportionnelles .

Exemple I. — Trouver P angle x, connaissant

log sin x =7,80293.

Le plus petit des deux angles dont les logarithmes sinus comprennent entre eux le
proposé est 39°a6'; son logarithme sinus diffère du proposé de 3 unités, et la
différence tabulaire est i5. Donc il faut ajouter à l'angle 39°a6 ; un nombre de

3
secondes égal à 60* x — = 12". La Table des parties proportionnelles donne*

rait io". Donc l'angle cherché a pour valeur

39°26 , ia" ou 39°26'io",

la différence entre ces deux résultats étant comprise dans la limite des erreurs
que l'on doit attendre de la Table [*].

Exemple H. — Logtangx=7,i3355. L'angle cherché est égal à 7°44\ plus

66
un nombre de secondes = 6ox-tj 66 étant la différence entre log tang7°44' et

• *» 9^
log tangx, et 95 la différence tabulaire. On trouve, en faisant l'opération,

*=7°44'4i",7.

[*] Soit, en général , x l'argument d'une Table des valeurs de la quantité y, A* l'in-
tervalle entre deux valeurs consécutives de l'argument, ày la différence tabulaire
correspondante. L'approximation avec laquelle la valeur dey détermine réciproquement
celle de x est donnée par l'expression

A*

a/

Dans nos Tables trigonométriques , Ax représente l'angle de 1' ou de 60". Si D est la
différence tabulaire correspondante à l'angle x , cet angle sera déterminé à un nombre

de secondes près égal à — • Ici D = i5 ; donc l'angle est déterminé par son logarithme

sinus à 4" près* L& différence du logarithme de la tangente étant toujours plus forte que
celles des logarithmes du sinus ou du cosinus, on voit qu'il est avantageux d'employer
autant que possible la tangente pour la détermination des angles*

INTRODUCTION. ,[m]

En se servant de la Table des parties proportionnelles, en ferait le calcul ainsi :

0i& tab. = 9 5 \ P our lo 6 tang = 7,13289 7°44'

Reste = 66 ) pour !egpart . prop . j «3 *>"

{ 0» : . . . 2

d'où 'x^fU'A*'

Exemple m. — Logcos«r = 7, 63127.

Diff. tab. = 27 } P ^ log cos = 7,63i33 64° 4<>'

ET. tab. = 27 1 P ^ logcos = i,63i33

Reste = 6 j pour j^ p^ prt)p# J

10"
2

d'où x = 64° 4o' 12"

Le calcul direct aurait donné 64°4o'i3".

S'il s'agit de déterminer, au moyen de son sinus ou de sa tangente, un angle
moindre que 3 degrés, on suivra l'une ou l'autre des deux méthodes suivantes, qui
se déduisent de celles que nous avons employées dans le cas analogue du pro-
blème inverse.

Première méthode. — On passera du logarithme au nombre et l'on détermi-
nera l'angle au moyen de son sinus naturel ou de sa tangente naturelle.
Exemple I. — Log sinx = â,i5oÔ6, d'où

sinnat.o? = o,oi4i53
Diff. tab. = 201 )P0urlesinnat. = o,oi3 9 62 o°48'

: : 9 / 146 30"

Reste = 191 . . ,,

9 ) pour les part. prop. 44 9

1 0,2

d'où x = o°48 ; 39 # ,2

Exemple H. — Log cota? = 2,56218, d'où

icot nat.x= o, 036491
/ o,o36668 87*54'
\ 146 3o*

pour < A

^ » 29 6

0,4

d'où x = 87 54'36",4

Exemple m. — Log tango? = 1, 568i3, d'où log cot-r = 2,43187.

Diff. tab. = 291 ) cot nat * = °' 02 7° 31

Reste = 28 [ ( °' oa 7 o5 9 W*>'

\ pour J 24,3... 5*

( 3,7... 0,8

d'où x = 88°2/5 ff ,8

Seconde méthode. — On retranchera du logarithme donné la valeur corres-
pondante de log ou de log— — • Le reste sera le logarithme de l'angle éva-

arc arc

lue en secondes, et on lira immédiatement dans la Table I sa valeur en degrés et
minutes. Reprenons, par ce moyen , les exemples précédents.

Exemple I. — Le log sinus 2,i5o86 ou 8,i5o86 étant compris entre 8,11 et
8,16, nombres indiqués en tête de la page 11 par les lettres S. T. (initiales de
Sinus, Tangente) , on en conclura que l'arc est un de ceux qui correspondent à cette

b.

f xx ] INTRODUCTION.

page. Or la valeur de log^SH!? est 4,68556. En la retranchant du logarithme

arc
proposé, le reste 3,4653o est le logarithme de 2919", 5 ou de o°48'39",5 :
telle est donc la valeur de l'angle cherché.
Exemple IL — Logcot x = 8,56218 (page 27).

log|^--- 4,68577

log.rV. 3,87641

x'= 2 5' a3% 3
d'où x = 90 - x 1 = 87 54' 36*, 7
Exemple in. — Logtangx== i,568i3

d'où logcot a:.... 8,43*87 (page 20)

log^--- -4,68568

log-r' 3,74619

x'= i° 3a' 54", 3
x = 90 - x' = 88° 27' 5",7 [*].

Si l'angle cherché n'appartient pas au premier quadrant, on commencera par
déterminer (d'après ce que Ton sait sur les signes de ses lignes trigonométriqûes
et sur les limites entre lesquelles l'angle peut être contenu) à quel quadrant cet
angle appartient, et pour laquelle de ses lignes trigonométriqûes il faut chercher
l'angle réduit.

Si Ton sait, par exemple, que le cosinus d'un angle est négatif et que cet angle
est moindre que 180 , on cherchera l'angle réduit dont le Tog sinus est égal au
logarithme donné, et en ajoutant 90 degrés à cet angle réduit, on aura 1 angle
cherché.

La page 86 contient une Table des lignes trigonométriqûes naturelles de degré
en degré, avec une approximation suffisante pour les constructions graphiques et
pour certains calculs astronomiques. Cette Table donne en même temps l'évalua-
tion des arcs en parties de rayon avec la même approximation. De plus, elle peut
servir pour la conversion des parties du cercle en parties du jour. Elle donne
immédiatement la conversion des degrés en heures et minutes, et la Table auxi-
liaire qui l'accompagne, celle des minutes et secondes d'arc en minutes et secondas
de temps.

Les chiures renfermés entre parenthèses sont les périodes des fractions déci-
males.

Exemple. — Convertir en temps l'arc de 57 17' 44", 81.

57 3 b 48 m

17' 1.8 8

4o* 2,6667

4.. 2667

0,8 533

0,01 7

somme 3 h 49 m io 8 ,987

[*] Lorsqu'il arrive que les quantités log — ou log— ^ ont plusieurs valeurs diffé-
rentes dans la même -page, en prenant une quelconque de ces valeurs, on a une pre-
mière approximation , ordinairement suffisante. Si Ton veut une plus grande exactitude,

on corrigera lé dernier chiffre du logarithme , de là différence entre le log — ou — ^

Su 'on a pris et celui qui répond à la colonne où se trouve la valeur approchée de l'angle,
ette correction ne dépassera jamais une ou deux unités du cinquième ordre.

INTRODUCTION. [ xxï ]

La même Table peut servir à convertir le temps en arc, en remplaçant les
additions par des soustractions. Soit donné l'angle
i6 b i8 m 53 8 ,4a3

12 180?

4.16 ,. 64

2.53,4^3

2.52 43'

i',423 244 43'

1' iÔ -

o,4 6

0,02 o,3

o,oo3 o,o45

2i - ,345

L'angle en degrés est donc 244°43'2i w ,345.

On se servira de même de la Table qui donne la conversion des heures, minutes
et secondes en parties décimales du jour.

m.

Table des logarithmes d'addition et de soustraction on logarithmes

de Gauss.

Cette Table contient certains logarithmes, au moyen desquels, connaissant les
logarithmes de deux nombres, on peut, par une seule lecture dans la Table, trou-
ver, soit le logarithme de la somme, soit le logarithme de la différence, de ces
deux nombres.

Cette Table se divise en deux parties, qui se distinguent par les mots addition
ou soustraction placés en tête de chaque page.

I. ADDITION. — La Table d'addition donne, pour chaque nombre de la co-
lonne R. [*], considéré comme représentant le logarithme d'un nombre x plus

grand que l'unité, la valeur correspondante du logarithme du nombre i-\ —

Nous appellerons ce logarithme le logarithme additif correspondant au nombre x.
Soit proposé maintenant, connaissant les logarithmes de deux nombres a, b
(dont a est le plus grand), de trouver log («+£). On a

d'où

log(a + fc) = log

Si l'on suppose donc

a

on connaîtra immédiatement

loga? = loga — logé,

et le logarithme additif correspondant à cette valeur de logx sera ce qu'il faut
ajouter à loga pour avoir log(a-f- b).
Exemple. — Soit

loga= 3,i5i86, \ogb = 2,91843, d'où logg = o, 23343.

Cherchons dans la Table le logarithme additif correspondant à cette valeur de
logv- Au nombre o,a33 de la colonne R. (page 88) répond le logarithme.addi-

[*] Initiale de rapport.

[ xxii J INTRODUCTION.

tif 0,19997. Le produit de la différence tabulaire 37 par o,43 est 16. Or les loga-
rithmes additifs vont en décroissant pour des valeurs croissantes de R. Donc il
faut, comme pour les logarithmes des cosinus, des cotangentes et des cosécantes,
retrancher la partie proportionnelle qu'on vient de trouver. C'est en cela seule-
ment que l'interpolation de cette Table diffère de celle des Tables de logarithmes
ordinaires. Donc le logarithme additif cherché est

0,19981

qu'il faut ajouter à log« 3, i5i86

d'où log(a -+-£).... 3,35i67

Si Ton se servait de la Table I pour le môme calcul , il faudrait faire au moins
deux lectures dans la Table. En mettant la quantité a-\-b sous la forme .

■(■tî>

on trouverait

log- 1,76657 ioga 3,i5i86

a

o, 58421 ^sf 1 -*"^) «M99 8 *

i-f-- i,584ai log(a-hb) 3,35i68

Remarquons que la première valeur 3, 35167 est la plus exacte.

H. SOUSTRACTION. - Soient deux nombres positifs x, x' liés entre eux par
la relation

La Table de soustraction renferme, pour les diverses valeurs de log.r supérieures
à o,3ooo, les valeurs correspondantes de logo?'.

Proposons-nous actuellement, connaissant log a et log b, d'en déduire log (a — ù).
On a évidemment

b , a-b

Si donc on donne la valeur - à l'un des rapports ,-> --,> l'autre aura pour valeur
~~ • Soit, par exemple,

- = - , d'0Ù X = t > log x = log« — logé.

a x o

Il en résulte

£=-=1. x ' = __^_, log*'=loga--log(a--6) t ,

d'où

log(a — b) = log« — log*'.

Donc, pour avoir le logarithme de la différence de deux nombres, on calcule, par
soustraction, le logarithme du rapport du plus grand au plus petit de ces deux
nombres; on cherche, dans la Table de soustraction, le logarithme soustractif
correspondant à cette valeur du logarithme du rapport, et l'on retranche ce loga-
rithme soustractif du logarithme du plus grand nombre.

Si le logarithme du rapport est plus grand que o,3ooo, ses premiers chiffres
se trouveront dans la colonne marquée R. en haut, et la recherche du logarithme
soustractif correspondant sera analogue à celle du logarithme d'un nombre donné.
Mais si le logarithme du rapport est plus petit que o,3ooo, ses premiers chiffres

INTRODUCTION. [ xxui J

se trouveront dans la colonne marquée R. en bas, et ta recherche du logarithme
soustractif correspondant sera analogue à celle d'un nombre donné par son loga-
rithme. Il faudra seulement observer que les différences tabulaires sont ici sous-
tractives, au lieu d'être additives comme dans la Table I.
Exemple I. — Soit

loga = i,8u6ao.

logfc = 1,38196

d'où log? = 0,43424 N

Le logarithme soustractif correspondant à 0,4342 est (page 98) 0,19926. En
soustrayant le produit de la différence tabulaire 6 par 0,4, c'est-à-dire 2, on
trouve, pour le logarithme cherché,

0,19924

En le retranchant de loga = 1 ,81620

il reste log(a — b) = 1,61696

Exemple H. — Soit

log« = 3,17192

log6= 4,9171a
d'où log? = 0,25480

À la valeur de R = o, 25486 répond le log soustractif o, ^27

Le reste 6, divisé par la diff. tab. 8, donne 7

d'où le log soustr. cherché o, 35277

En le retranchant de log« 3, 1719a

il reste log(a — b) = 4,81915

Pour mieux faire comprendre l'utilité de ces Tables, nous allons indiquer quel-
ques-unes de leurs applications à diverses questions d'algèbre , de trigonométrie,
d'astronomie, etc.

I. En éliminant tour à tour chacune des inconnues x, y entre les équations

ax -f- by = <?,
a'x+b'y= c\
on les met sous la forme

(ab'-ba')x = cb'-bc' f

(ab' — ba')y = ac'~- ca'.

Si les coefficients a, b, c, a' y b\ c' sont donnés par leurs logarithmes, l'usage
des Tables de Gauss permettra de calculer, au moyen de trois lectures seulement,
les logarithmes des trois binômes

ab'-ba\ cb'-bc\ ac'-ca',

et, par suite, ceux des valeurs des inconnues x, y. Il faudrait au moins six lec-
tures, en se servant des Tables ordinaires.
Exemple. — Soient donnés

log* =0,12816, log& = — 7,92683, logc = 0,61920,

log «'=7,83456, logfc' = T,6i2i3, loge' =— 0,43189,

les signes placés devant les logarithmes étant relatifs aux nombres eux-mêmes.

t XXIV ]

INTRODUCTION.

Voîci le tableau des calculs :

«....,... 0,12816

c . . .

0,61920
7,6i2i3

a ...... .

0, 12816

b' 7,6i*i3

b'...

c'.

— o,43i89

ab' 7,74029

cb 1 ..

o,23i33

ac'

— o,56oo5

- b 7,92683

-b...

7,9*683

— c . ,

— 0,61920

a' i,83456

c'...

— 0,43189

— 0,35872

— 0,12739

a'

i,83456

-bc'..

-bc'

cb' "

— ba'.: 7,76i39

-ca'

ac'
^-ca>

— 0,45376

-ba'
ab °' 0a,I °

0,10629

L. add 0,29061

L. soustr..

0,59479

L.add...

o,25n3

ab 1 '— ba'.. o,o5aoo

cb'-
logx

bc 1 ..
x =

7,76393

— 7,71193

— o,5i5i

ac'—ca'.

— 0,81118

\oçjr. . . .

r =

— 0,75918
-5,7436

Dans la résolution des équations à un nombre quelconque d'inconnues, l'élimi-
nation d'une inconnue conduit à des coefficients binômes de la forme ab'— ba',
que Ton peut calculer comme on vient de le voir.

II. La formule pour la résolution de l'équation du second degré

en supposant connus les logarithmes de p et de q> se calcule aisément au moyen
des logarithmes de Gauss.

Il en est de même de la formule de résolution de l'équation du troisième degré,
dans le cas d'une seule racine réelle.

ni. Dans la Table d'addition, si l'on représente par log tang'y un nombre de
la colonne R, le logarithme additif correspondant sera

logli + eotfjj^loggj^.

Cette Table peut donc servir à calculer le log sinus d'un arc donné par son
log tangente. On en tirerait le log cosinus par soustraction. On voit en même
temps comment on trouverait réciproquement la tangente au moyen du sinus.

Dans la Table de soustraction, si l'on représente par logséc 2 ? un nombre R,
le logarithme soustractif correspondant sera log coséc* <p. De là le moyen de trou-
ver le cosinus d'un arc donné par son sinus, et vice versa.

En prenant le nombre R égat à log séc?, si l'angle <p est aigo, la Table de sous*

traction donnera immédiatement log -. — ? si l'angle «p est obtus, la Table

d'addition donnera log sin verse «p.

Nous n'entrerons pas dans plus de détails sur ces applications, qu'on peut étendre
à la plupart des formules de la Trigonométrie.

IV. Dans les formules pour la résolution des triangles, les données étant très-
souvent connues par leurs logarithmes, il faut quelquefois faire subira ces for-
mules des transformations qui les rendent propres au calcul logarithmique. Les
Tables de Gauss dispensent, dans un grand nombre de cas, de se charger la mé-
moire de ces transformations , en même temps qu'elles permettent d'abréger les
calculs.

Indiquons seulement quelques exemples.

INTRODUCTION. [ xxv ]

i". Dans un triangle rectiligne, dont on connaît deux côtés b, c et l'angle com-
pris A, on a la demi-différence des deux autres angles par la formule

coti(B-C) = ^î

Si b et c sont donnés par leurs logarithmes, soit b>c. On cherchera log- dans

la colonne R de chacune des deux Tables d'addition et de soustraction. Le loga-
rithme additif et le logarithme soustractif correspondants seront respectivement
égaux à

iog(i+j)> iog (7Vy

En ajoutant leur somme à log tang { A, on aura log cot |(B — C).
Exemple. — Soient les données

A = 85°ia', \o%b == o,43a85, loge = o,ia856.

On disposera ainsi le calcul :

b 0,4^85 L.add 0,17500

c o, 12856 L. soustr 0,29779

l tang | A.. .. 7,96357

- 0, 3oi2Q

f cotj(B-C). o, 43636

iA=42°36' i(B-C)=ao°6'34*.

• On achèvera ainsi le calcul du côté a :

çot 2 j(B — C) 0,8727a

L.add.= L.séc a f(B-C).. o,o5463

séc£(B — C) 0,02732

sin^A i,83o5i

b-{-c 0,60785

. a • o, 46568

On peut se servir avec beaucoup d'avantage des formules

asinB = 6sinA, acosB = c — 6cosA,

dont voici le calcul appliqué aux données précédentes :

— cosA —2,92261 c o, 12856

b o,43285

sinA 1, 99 8 47

— 6cosA —

.. — i,35546

rapp

L. soustr —

. —0,77310
0,08020

c — 6cosA. . .

.. 0, o4836

asinB o,43i32

acosB o, o4836

^g 8 °> 3 8 *9 6 B = 67°3o'3i*

cosécB o,o3435 a o, 46567

sécB o, 4173a a o, 46568

Nous avons déterminé loga par un double calcul, au moyen de asinB et de

[ xxvi ] INTRODUCTION.

acosB. L'accord de ces deux valeurs constitue une importante vérification des
calculs. En cas d'une légère divergence, due à l'imperfection inévitable des loga-
rithmes tabulaires 9 on donnera la préférence à celle qui résulte de la plus grande,
en valeur absolue , des deux quantités asinB, acoaB.
a°. Soient donnés un côté d'un triangle sphérique et les deux angles adjacents

a = 6o°ai'48', B = a ao/a8 - , C = i45°2a'2i g .
Calculons le côté b par la formule

cot6 = coséca (cotB sinC+ cosCcosa).

i cotB ^,36i45 L. soustr 0,01375

(I) | sinC 7,75453 (1) 1^,11598

M (cosC -r >9 i533 « "" 7 ^ 9

cosâf 1,69416

(i)-H*) i,ioa*3

coséca 0,06089

b = 3°55'46 # cotb i,i63ia

V. Soit a la distance moyenne d'une planète au soleil, e son excentricité,
p = a fi — e*) le demi-paramètre de son orbite, r le rayon vecteur, w l'anomalie
vraie. On aura d'abord aisément (III) le logarithme de p. Le rayon vecteur est
donné en fonction de w par la formule

i-l-tfcosw

On cherchera log (-sécw J dans la colonne R de la Table d'addition ou de la

Table de soustraction, suivant que cosw sera positif ou négatif. Ayant trouvé le
logarithme correspondant de la Table, on le retranchera de log/? dans le premier
cas, on rajoutera à logp dans le second, et Ton obtiendra ainsi logr.

Le rayon vecteur et 1 anomalie vraie sont donnés simultanément en fonction de
l'anomalie excentrique u par les formules

rcostp = a (cosw — e), rsintc = a\j\ — e\sinw,

dont la première se calcule aisément par les Tables de Gauss.

On rencontre en astronomie un grand nombre d'autres formules dont les Tables
de Gauss facilitent beaucoup le calcul.-

VI. m désignant la longueur ou le volume d'un corps à la température de o de-
gré, a son coefficient de' dilatation linéaire ou cubique, la même quantité à la
température t aura pour valeur

m(i-+-at).

On calculera cette formule au moyen de la Table d'addition ou de la Table de
soustraction , suivant que t sera positif ou négatif.

Ce petit nombre d'exemples suffit pour faire comprendre l'avantage de ces
Tables.

La pa§e 104 contient des Tables de conversion des logarithmes naturels lou
hyperboliques) en logarithmes vulgaires, et vice versa.
Exemple. — Etant donné le logarithme vulgaire du nombre n,

M97 1 4987 3,

IOTRODUCTION.. j XOTi ]

trouver son logarithme naturel :

49 i , 128a 6669 6

71 i63 4835 4

49 l ia8a 7

87 200 3

3 7

1,1447 2988 7
Donc

log nat. 7T = i , 1447 2989.

La page io5 contient, outre d'autres tableaux qui n'ont pas besoin d'explica-
tion , le tableau des logarithmes des quantités

1.2. 3.. ,«, i.3.5...(2« — 1), 2",

au moyen desquelles on forme aisément un grand nombre d'expressions qxû se
rencontrent dans le calcul des séries et dans la théorie des probabilités. Si l'on
propose, par exemple, de calculer la quantité

_ 1. 3.5., .as

*-*%. 4.6... 36'

on mettra le dénominateur sous la forme 2 ,8 x 1.2. 3... 18, et Ton obtiendra
ainsi le logarithme de cette expression :

i.3... 35 2o,3456 5421

{1.2... i8)- f 76, 1936 5898

a- 18 . 6,58i4 6008

logx 1,12077327

»««•*

IV.
Table des logarithmes des nombres à huit décimales.

Cette Table donne avec huit décimales les logarithmes des nombres depuis 100
jusqu'à 1000. Elle suffit pour calculer très-promptement, avec sept ou huit figures
exactes, le logarithme 4 un nombre donné quelconque, et pour résoudre avec la
môme approximation le problème inverse.

I. Tramer le logarithme correspondant à un nombre donné. — Soit

M = 0,4342944^...

le module des logarithmes vulgaires. On démontre, dans les Traités d'Algèbre, la
formule

Iog(a + x)=log a +_ T -.+3 ___+...,

où nous supposerons x très-petit par rapport à a.
Le troisième terme de cette formule , étant sensiblement égal à

12 \a) 27,6... \a) '

sera inférieur à une demi-unité du 7 e ordre décimal, si - est moindre que — ?

a ^ 100

et môme à une demi-unité du 8 e ordre, si - est moindre que 11 en est de

[ xxviii ] INTRODUCTION.

même, à plus forte raison, des termes suivants. Nous supposerons donc la for-
mule réduite à ses deux premiers termes,

log (a + *) = ioga + j^+y

Or, si Ton représente par a l'ensemble des trois premiers chiffres du nombre

donné, et par a + x le nombre lui-même, on aura toujours -< — • On aura

x i
même - < — toutes les fois que a > 200, ou encore lorsque , a 4- x étant com-
as 200

pris entre 100 et 200, on a soin de prendre pour a le nombre le plus voisin, soit

par défaut, soit par excès : alors x est positif ou négatif, et numériquement < \.

Exemple I. — Soit proposé de trouver, avec huit décimales, le logarithme du

nombre 365,256374. On prendra

a— 365, x = o, 256374.
On formera, au moyen de la Table auxiliaire de la 'page 104 , le produit

M xix = M x 0,512748,
en disposant ainsi le calcul :

o,5i 0,221490.2 / 2226840

0,0027 1172.6 1 36o44

o,oooo48... 20.8 \ 6834

262

73Ô265374

o,ooo3o494

2M.r 0,222684.

En divisant ce nombre par

2 a 4- x = 730 , 265374 ,

et ajoutant le quotient 0,000 3 0494

au log de 365 pris dans la Table 2,5622 9286

on aura le log cherché 2,56*5 9780

On pourrait encore abréger le calcul en se servant de la Table I.

iog2M 7,9388i ia-\-x= 730, 256

logx 7,4o888 log(2«4-a?)= 2,86347

log ' 3, i3653 log 365. .... 2,5622 9286

*kù-\-x

somme 4,48422 = log de o,ooo3 0494

log cherché 2,5625 9780

Exemple H. — Trouver le logarithme de 108,79379. On prendra
0=109, x= — 0,20621,
d'où

2^ + ^=217,79379. .
En calculant comme ci-dessus, on trouve

zHx

; — 0,0008 223Q

log 109 2,0374 265o

log cherché .... 2 , o366 041 1

O. Trouver le nombre correspondant à un logarithme donné.
En désignant par a le nombre de la Table dont le logarithme approche le plus
du logarithme donné, soit en moins, soit en plus; en appelant a-t-x le nombre
cherché, et posant

log(tf+*) — \oga=jr,

INTRODUCTION. [ xxix J

l'équation y = : — > résolue par rapport à x , donne x = ■■ _j >«

Exemple. — Soit

log(a-4-ar) = 0,3622 1569
on a « = 2,3o; d'où

loge = 0,3617 2784

/ = 0,0004 8785

2 M = o,8685 8896

2M-/ = 0,8681 oui

log(aM-.r) = 7,93857

logaa 0,66276

logj 4,68829

logo: 3,4i248

x = 0,002 585 1

Donc le nombre cherché est 2,3o2585i [*].
On peut interpoler de la même manière la petite Table de la page io5 qui

donne les logarithmes des facteurs 1 H pour les divers taux d'intérêt rpour

100. La Table Y peut également être employée au même usage.

V.

Table abrégée pour le calcul des logarithmes et des anti-logarithmes
à un grand nombre de figures.

La Table contenue dans la page 109 sert à calculer avec vingt décimales le
logarithme d'un nombre donné, et réciproquement à trouver avec vingt figures
le nombre correspondant à un logarithme donné.

L Un nombre étant donné, trouver son logarithme [**].

Si le premier chiffre à gauche du nombre proposé est différent de 9 , on divi-
sera le nombre par ce chiffre augmenté d'une unité [***]. On multipliera ensuite
ce quotient par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de 9 au commencement
du âuotient, et du complément à 9 du premier chiffre différent de 9. On répétera
sur le produit obtenu la même opération, et l'on continuera de même pour les
produits suivants, jusqu'à ce que 1 on parvienne à un produit dont tous les chiffres
soient des 9 , et que l'on puisse considérer comme égal à l'unité, au degré d'ap-
proximation auquel on veut s'arrêter. On fera la somme des logarithmes des divers
multiplicateurs et du logarithme de l'inverse du premier diviseur. Le complément
de cette somme sera le logarithme cherché.

Soit en effet N le nombre donné, Die premier diviseur, P le produit des mul-
tiplicateurs. On a

gxP = i, N = i: 5' dou logN = -logg-

Exemple. — Calculer avec dix décimales le logarithme de

n = 3,i4i59 26536.

Ici, d'après la remarque faite dans la note au bas de la page , au lieu de diviser
par 4> il sera plus avantageux de multiplier par 3. Voici le tableau du calcul :

[*] Voir pour plus de détails sur cette méthode l'ouvrage de M. Koralek, intitulé:
Méthode nouvelle pour calculer rapidement les logarithmes, etc.

[ **] La méthode que nous donnons ici, et qui nous a paru la plus simple de toutes
celles qui ont été proposées pour le même objet, est due à R. FJower (1771).

[***] Souvent il est plus avantageux de multiplier le nombre par un chiffre convena-
blement choisi , par celui dont l'inverse, réduit en décimales et abstraction faite de la
virgule, est immédiatement supérieur au nombre donné. On trouve, au bas de la

page 109 , lés premiers chiffres décimaux des fractions -> s » etc., et de leurs logarithmes.

9 b

[ XXX ]

PRODUITS.

3i4i5 9^653 6

94247 7796o 8
4712 38898 o

98960 i6858 8
989 60168 6

99949 77027 4
4 9 97488 5

99999 745i5 9

INTRODUCTION.

MULTIPLICATEURS.
3

i,o5

i,ooo5

1,00000 25484 1

LOG. DBS M1LTIPL.
47714 12547 *

21 18 92990 7
432 13737 8

21 70929 7

8685 9

2171 5

i 7 3 7

34 7

1 7

o

50285 01273
Complément = log cherché o , 497 1 4 9&7 a 7

Remarquons que, lorsqu'on est arrivé à un produit dont la première moitié dés
chiffres est composée de 9, on peut écrire immédiatement sans calcul les facteurs
qui restent à trouver, en prenant les compléments des chiffres restants du pro-
duit. Ainsi, dans l'exemple précédent, après être arrivé à un produit dont' tes
cinq premiers chiffres sont des 9, sur les dix chiffres qu'il importe de conserver,
on aura immédiatement les facteurs

1,000002, i,oooooo5, 1,00000004,...,
que nous avons représentés, pour abréger, par le symbole

1,0000025484 1,
valeur approchée de leur produit.

II. Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant.

On retranche du logarithme proposé celui des logarithmes de la Table qui en
approche le plus par défaut. On agit de même pour tous les restes obtenus suc-
cessivement, puis on fait le produit des facteurs, correspondants aux divers loga-
rithmes soustraits

Exemple. — Trouver le nombre correspondant au logarithme

M = 0,43429 44819.
Voici le tableau du calcul :

43429 44819
39794 00087

1

T

1,08

I,O06

I,OOÔ7

1,00006

1,00000 6
1 ,00000 04
1,00000 0001
1,00000 00069

(0

3635 44732
3342 37555

(»)

293 07177
259 79807

(3)

33 27370
3o 38998

(4)

2 88372
2 60669

(5)

27803
26o58

(«)

1745

1737

8

4_

4

(7)
(8)
(9)

(5)

1,00000 640I9

6 oooo3 8

(4)

1,00006 64022 8
70 00464 8

(3)

1,00076154487 6
600 45986 9

(»)

1,00677 I0 474 5
8o54 16837 9

(')

1,08731 27312 4
27182 81828 1

Le nombre cherché est donc

e = a, 718281828,

valeur de la base des logarithmes naturels.

Remarquons que le produit de la seconde moitié des facteurs s'écrit immédia-
tement en ajoutant l'unité à la somme de leurs parties décimales ; il est facile de
prouver que Terreur commise n'influe pas sur les décimales conservées. Ainsi, le
produit des facteurs (6), (7), etc., est 1,0000064019.

VI.

Tables de logarithmes et d'anti-logarithmes à quatre et à trois décimales.

La première Table contient les logarithmes à quatre décimales des nombres de
100 à jooo. Nous avons adopté pour cette Table, ainsi que pour les suivantes,
la disposition à double entrée. La colonne marquée D contient. la différence entre
le dernier nombre de chaque ligne et le premier de la ligne suivante.

Nous avons ajouté à cette Table deux petites Tables de logarithmes et d'anti-lo-
garithmes à trois décimales.

La seconde Table donne , pour chaque valeur de la mantisse d'un logarithme,
les chiffres significatifs du nombre correspondant. Ainsi, à la mantisse 345 corres-
pond le nombre 221 3. A la mantisse 8673 correspond le nombre

7362 + 17 x o,3 = 7367.

La troisième Table sert à trouver directement le logarithme naturel ou hyper-
bolique d'un nombre quelconque. Pour faire usage de cette Table, on commence
par diviser (ou multiplier) le nombre donné par une puissance de 10, telle qu'il
y ait trois chiffres à gauche de la virgule. On cherche alors dans la Table le loga-
rithme correspondant; puis on lui ajoute (ou on en retranche) le logarithme de
la puissance de 10 par laquelle on a divisé (ou multiplié).

Exemple. — Pour avoir le log. nat. de 7r = 3,i4i5o,. . ., je multiplie ce nombre
par 100, puis je trouve, pour le log. de 3 14, 159..., le nombre 5,7499, auquel
j'ajoute log-ïiy = 5,3948; donc log*r = 1,1447.

Réciproquement, étant donné un logarithme naturel, on lui ajoute (ou l'on en
retranche) un multiple de log 10, tel que le résultat soit compris entre

log 100 = 4>&>52 et log 1000 = 6,9078.

On cherche ensuite le nombre correspondant, comme s'il s'agissait de logarithmes
décimaux. IJnfin on tient compte , dans le placement de la virgule, de la puissance
de 10 dont on a ajouté (ou retranché) le logarithme.
Exemple. — Soit

logj?= 2,7183.

En ajoutant log 10 = 2, 3026 , on a

log (10*) = 5,0209,
d'où

iojc= i5i-l-$£ = i5i,54 et par suite .r = i5,i54.

VIL

Table des plus petits diviseurs des nombres composés.

Pour décomposer un nombre en facteurs premiers à l'aide de cette Table, on
commencera par diviser ce nombre autant de fois que possible par les facteurs

[ xxxii ] INTRODUCTION.

§ rentiers a, 3, 5, u, dont les multiples sont aisés à reconnaître. Si le nombre,
ébarrassé de ces facteurs, se trouve dans la Table, on lira à côté son plus petit
facteur premier, par lequel on le divisera. On opérera de même sur le quotient,
et l'on continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne à un nombre qui ne se trouve
pas dans la Table, et qui sera nécessairement un nombre premier.

Ainsi, après avoir reconnu que le nombre io543 n'est divisible par aucun des
facteurs a, 3, 5, n, on le cherche dans la Table, et l'on trouve que son plus
petit diviseur est 1 3. Le quotient 8i i ne se trouvant pas dans la Table, on en con-
clut que les facteurs premiers du nombre io543 sont i3 et 8u.

VIII.

Table à dix décimales des lignes trigonométriques naturelles et dos
longueurs des arcs en parties du rayon.

Cette Table donne les valeurs des lignes trigonométriques naturelles de degré
en degré.

I. Pour obtenir les valeurs de ces fonctions correspondantes aux arcs intermé-
diaires, on se servira de l'un ou de l'autre des systèmes de formules

sin (a -h x) = sina cosx + cosa sinx,
cos (a + x) = cosa cosar — sina sinar,
/ * / , \ tanga-J-tanga-

cot(«+«)= c ; a T t "' 8x ,

v ' i + cotatangj?

sin (a -4- x) — svaa = 2sin \ x cos {a -f- j x),

cos {a 4- x) ■*- cosa = — a sin £ x sin (a •+- \ x),

i \ r * / . \ sina:

(a) < tangftf + .r) — tanga = ; — ■ — r>

v a ol ' & cosa cos (a -h x)

COt(tf-hx) — COU = : r— 7 ; r>

v ' sinasin(a-h*p)

a désignant un des arcs de la table, et x la différence entre cet arc et l'arc
donné a-\-x, différence qui, abstraction faite du signe, peut toujours* être sup-
posée moindre que 3o'.

La Table auxiliaire qui donne les sinus et les tangentes pour les 3o premières
minutes, pourra faire connaître, par une simple proportion, la valeur de sin x ou
de tangue. On aura ensuite cosx par la formule

cosx = i — \ s\n*x — j sin 4 a: — ...,

dont les deux premiers termes suffisent en général. On connaîtra de cette manière
tout ce qui est nécessaire pour le calcul des formules (i).

Si l'on veut se 'contenter de connaître les valeurs de sin(a-f-ar), cos(a-f- #),...,
avec sept décimales, il sera plus simple d'employer les formules (a), en s'aiaant
de nos Tables logarithmiques à cinq décimales. On prendra log cos (a -H | x),
log sin (a -f- ± x),..., dans la Table II; log sin|# et log tangx dans la même Table,
ou mieux encore, dans la Table I (voyez p. xvi), et l'on obtiendra une valeur
exacte, au septième ordre décimal près, de la correction qu'il faut ajouter à
sina, cosa,....

Si l'on se sert, pour le même calcul, de Tables à sept décimales, on obtiendra
les résultats avec deux décimales de plus.

INTRODUCTION. [ xxxm j

Soit proposé, par exemple, de calculer le sinus de l'arc

a-hx — 29 4a' 36".
On fera

«= 3o°, x = — 17'24".

i°. En prenant les formules (i), on calculera d'abord sin.r en ajoutant à sin 17'
les ij de la différence 0,0002 9088 44 entre ce sinus et sin 18'. On aura ainsi suc-
cessivement

sin-r = — o,oo5o 61 43 32

1 — cosx = ïsin'x = 0,0000 1280 91

— j sin* x sine = — 0,0000 0640 46

sina= o,5ooo 0000 00

sin#cos.r= 0,4999 9^9 54
cos«sinx= — 0,0043 8332 97

sin(<z-4-#)= 0,4956 1026 57

valeur exacte jusqu'à la dernière décimale.
2 . En prenant les formules (2), on a

\x = - 8'4a", â + i^= 29°5i'i8\

Au moyen des Tables I et II, on trouve

2sin|# —3,70427. sin<* = o,5ooo 000

cos(a-\-±x). . .. *ï",938i6 correct. = ~ o,oo43 897

L. correct — 3,64243 sin(a 4- *) = o, 4956 io3

3°. En se servant de Tables à 7 décimales , on aurait eu

2sin{ x — 3,704 2749 sina = o, 5ooo 0000 o

cos (04-7.2;) 7,938 i633 correct. = — o,oo43 8973 4

L. correct —3,642 4382 sm(a + x) = 0,4956 1026 6

II. Pour déterminer réciproquement un arc, étant donnée une de ses lignes tri-
gonométriques , on emploiera les formules

sinar = co&a sin (a -J- x) — sin« V 1- sin 2 (a -h x)
= cosa v/i — cos 2 (a-|-#) — sin** cos (a -f- #),
(3) itinc:x=r *ang (<*4-.r)-- tang«

* ' * 6 ' 1 4- tango tang (a 4- x)

_ COtrt — 'C0t(«4- x)
~" COta cot (a -f- x } -r- »

a 4- x étant l'arc cherché , a l'arc de la Table le plus voisin , et x un arc positif
ou négatif, moindre, en valeur absojue, que 3o', et que l'on déterminera au moyen
de son sinus ou de sa tangente, par une simple proportion.

On pourra encore se servir des équations (2), que l'on résoudra par des approxi-
mations successives , en s'aidant des Tables I et II.

Cherchons , par exemple , l'arc qui a pour cosinus

cos(a-+-.r) =0,9938 4ao6.

L xxxiv ] INTRODUCTION.

Nous prendrons, pour cela, la formule

sm | x = \

cosa--cos(g-i-a^
sin(a+ja:)

On voit d'abord que Tare est compris entre 6° et 7 , et, en ne considérant que
les premiers chiffres, on en tire, par proportion , une première valeur approchée

tf4-# = 6°2i'.
Soit maintenant

y = cosa — COS (a -+• x) = 0,0006 7984.

On fera le calcul de la manière suivante :

2 e approximation. 3 e approximation.

\X 4,53i38 4,53i38

coséc(«-j- \x).. o,96833 0,96790

sin£# 3,49971 3,49928

±x = 10' 52" î x = io'5i ff ,i9

La quatrième approximation reproduirait le même résultat. Donc

i* = io'5iV9,
d'où

a-l-a? = 6 2i , 4a",38.

Si le cosinus avait été donné avec dix décimales, on aurait pu, en s'aidant de
Tables à sept décimales, calculer de même la valeur de Tare à moins de tôotô
de seconde près.

Nota. — La Table qui donne les longueurs des arcs en parties de rayon peut être
employée aussi pour faciliter les calculs d'interpolation de la Table des sinus et
des tangentes des trente premières minutes.

[ XXXV J

RECUEIL

DE

FORMULES ET DE NOMBRES USUELS,

AVEC LEURS LOGARITHMES.

Nota. — Les logarithmes employés dans le Recueil de Formules sont tous relatifs à
la base e. Pour les convertir en logarithmes vulgaires, on devra les multiplier par le
module, au moyen de la Table donnée page io4*

Les angles qui entrent dans les développements en séries sont exprimés en parties du
rayon. S'ils étaient donnés en secondes, on commencerait par les convertir en parties du
rayon à l'aide des Tables données page 38. On fera l'opération inverse pour traduire
en secondes les résultats obtenus en parties du rayon.

Pour les dimensions de la Terre et les quantités dépendantes de l'intensité de la
pesanteur, nous avons adopté les nombres donnés par Bessel. Les autres nombres sont
extraits de Y Annuaire du Bureau de* Longitudes pour 1864.

[ XXXVI ]

RELATIONS GÉNÉRALES

sin 2 a4-cos 2 a=i.

tanga

__ sina
"~ cosa"

cota

__ COSa^

"" sina

tanga

cota = i .

COS a

séca = i.

sinacoséca = i.

séc 2

a = i 4- tang 2 a.

coséc'i

2 = 1 + cot 2 a.

.

tanga

sina

\/i -+- tang 2 a

cosa

i

v/i +- tang 2 a

tanga

_ l
~~ cota

sma

*.

v/i — sin 2 a

l/i — cos 2 a

cosa

sin (a4-£) = sinacos&4-cosa sinô.

gin ( a — £ ) = sina cosft — cosa sin b.

^,os (a -f- b ) = cosa cos 6 — sina sin 6.

cos(a — b) = cosa cos ô 4- sin a sin 6.

sinacos&==isin(a4-&)-+-ïSin(a — 6).

cosa èinb = |sin (a-+- b) — | sin (a — 6).

cosa cos& = jcos (a — b) 4-icos (a4- 6) .

sinasin& = £cos(a — b) — |cos(a4-£).

8ina-4-sinô = 2Sin^(a-h^)cos|(a — b).

sina — sinfc = 2COs£ (a-\-b) sin J (a — b],

cosb 4- cosa = acosi (a+ 6) cosj (a — b).

cost — cosa = a sin^ (a-4- ô) sini (a — ft).

sina 4- Sin b __ tang \ {a 4- b)

sina — sin6 "" tang|(a — b)'

cos&4-cosa _ cotj-(a4-fr)

~~ tangua — £)'

cosfc — cosa . .. . ..

-r-r= tangi(«i:d).
sinb ° *

cos fc — cosa'
sînadbsinô

cos#4-cosa sina:

tanga zbtangft
tang(a±^) = —-———,

sin45°=cos45°= v/ï-
tang45°=cot45°= i.

sin3o° = cos6o°=±.

cos 3o° = sin 6o° = ■? t/3 •
tang3o°=cot6o°= v/ï-
sin 1 8° = cos 72°= | (y/5 — i) .

cos 1 8° = sin 72°= | V i o 4- 2^5 .
sin 36° = cos 54°= } V^io— 2y/5.
<sos36°=r sin 5^°= \{\/l 4- 1).

sm 2 a = asinacosa.

cos2a = 2 cos 2 a — i

= cos 2 a — sin 2 a

= i — 2 sin 2 a.

. atanea

tang2a = *

i — tang 2 a

cot2a =

cota — tanga
cot 2 a — i

2 cota
= £cotd— J tanga.
cos a ± sin a = y^2 sin (45° ± a)

= v/2 cos (45° ={=«)•
cosa-|-sina i4-tanga

i =f tanga tang b
cota cote q= i

COt£ :

«*(«*») = ■ eot6±cota -

. . , sin(a±fc)
tang«=btangft = - 55i ^^ F -

., 4 sin(azbft)
cotfc d= cota = — r-J — r-~-
sina sin b

* , A * cos(aqzft)

cota ± tango = — ~ r- *

* sina cos 6

cosa =fc sin 6 = 2sin [45°— J (a q= *)] cos[45°— i (a=fc £)]

sin 2 a— sin 2 £ = cos 2 £ — cos* a = sin (a -4-6) sin (a — b).

cos s a — sin 2 6 = cos 2 ô — sin 2 a = cos(a +b) cos(a — b).

cosa — sina

-tanga

-v*

1 4- sin 2a
i — sin2a
= tang(45°+a)
= cot(45°— a).

i 4- cosa
i —cosa
i 4- sina
î — sina

tangua =
cosa =

sina =

sin3a =
cos3a =

= 2C0S 2 ja.

= 2sin 2 |a = sinv.a.

= 2sin 2 (45°4-ia) = 2C0S 2 (45°- **),

= 2Sin 2 (45°— ia) = 2COS 2 (45°4-{a)

= cosv.a.

sina i — cosa

tang3a =

COtia i + cosa sma

i — tang 2 j a

i + tang'jV

i — tang 2 (45° — \a)

^tang 2 ^ -^)*
3 sina — 4sin'a = sina ( 4cos 2 a — i ).
4cos*a — 3cosa = cosa (i — 4sin 2 a).

3 tanga — tang 3 a

cot3a =

sin(/*4-
cos(/i-h

i — 3 tang 2 a
cota — 3 tanga

3 — tang 2 a
i)a = 2 cos a. sin «a — sin(/i-
i) a = 2COsa.cos/sa — cos(// -

i)a.
i)a.

ENTRE LES FONCTIONS dRCULAIRES.

[ XXXVII ]

J -

c
u

33

3

ci **

- I
s»

i

a

i-.

I

•s

+

*5q

is I

« I

c* %.

o

1

"ci

GO

8

T

a

m "

«

8t

1

i

1

ii

'i

a

£

j — .

r*î

«

+

~ +

i=:

1 «

-i«

Ç -|p

■

Hfa .

■

i

-

* "ïT

|

* t

• 1

^

H ^

=;

fc

H 1

I

-[p.

+

"a
'33

x

+
I*

3
I

e
a

+

I

ci

H

**

+

+

C

* 5

-|"

7 -N

H" —

*

,

<M

« fjy

I

- 1

f

«

c

t;

+

•a

c* L.

~ .5.

I I

i -S.

•I §

« s

I +

1 i

'55 8

11 —

»o s»

-in -l«

+ +
I

i

+

«
S

"fa

Q <3

I I

^-*.

es

1

co

|

f

rs

«

C

8!

s;

-

s:

+

1 i : § 1

s.

S)

.

^^

i

h

^

-|fi

-l«

+

+

«

Q

H g

co

-l« o

H

.S *

co «~-»

+

+

C

aï

-l«

H"

fl

'S

'53

+

a
éo

+ +

"S* eo

'55 3

+ +

+ +

H

+ +

'h h

+ +

« .2.

A S

55 o

+ +

.S §

[ xxxviii ] FORMULES DIVERSES.

arc sua x — arc cos y/i — x* = arc tang x = aarc sin vï—i y/i — x 2

yi — x 1

ss i arcsm \ixy/i — a?) = a arc tang y — = |arctang *__^ x x ■

— — — — 4/ I ~ ~* 3l 1 1 I ,î?

arc cos # = arc sin yj\ — a* = arc tang ^— — — = aarc cos 4/ '

= aarc sin i/^^ =iarccos(a,z 2 — 1) = a arc ^g\/ jîr!j; =Tarctang 2 ^ 3 r ^^ -

arc tanex = arc sin - , = arc cos , = arc cot- = aarc tang

5 y/i + x 1 y/T+1? x x

ix f aar . 1 — .r*

= -i arc tang — ? = \ arc sin j-^-p = \ arc cos y^pp-

arcsina ztarcsin/ = arc sin (a?/ 1 — r 21 * 1 ^/ 1 — ^ 2 ) = arccos(\/i--a^/i— r 2 ^^).
arc cosa =fc arc cos y = arc sin [y^i—x* ± * /*— .T 2 ) = arc cos far" =P /* — x * \/ 1 — y 2 ) •
arc cos x =fc arc sin y = arc sin (#7 dztfi — x 2 V^—7) = ar c cos {x /i — jr 2 =rjVi — x 2 ) .

arctangx ± arc tang/ = arc tang — *

I ip 07^*

Nota.— Dans les formules suivantes, les logarithmes sont relatifs à la base *= 2,7128...,
les arcs sont exprimés en parties du rayon. Pour ramener les formules au cas des arcs

exprimés en secondes, on remplacera chaque arcr par le rapport ^ 1 R étant le nombre

206264", 8... des secondes contenues dans le rayon. La lettre i désigne le symbole /— 1.
«*' = cos x -f- 1 sinx , e - * 1 = cos x — 1 sin a?.

e*'H-*?-*» . e*' — <?-

cos.r = j sinx =

a. a<

e»*' = (cos.r 4- / sinx )" = cos«.r -f- i sin «a.

1 1 -f- .rî i . 1 H- j?i

arc tang,: = .108-^== = ^.log j-^-

1 /7 T ^ = I + il_

I x 1.3 .r* 1.3.5 a» i.3.5.7a*

ai 2.4 3 a. 4.6 5 a. 4. 6. 8 7
1 . j.3 2 , 1.3.5 _, , 1.3.5.7

i/i _ ^ a 2.4 a. 4. 6 a. 4*6. 8

, , , . * a a x 3 a 4
log(. + ^) = 7 --+y- T + ....

°i — *r 1 2 J 4

x #» a*

&1IUC = -

1 1.2.3 1. a. 3. 4.5

# a x 4 a 6

1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6

xi a* , 1.3 x*. 1.3.5 a 7 ,

arcsmx=-H Y + — r- T + r-7-F , —+*«-«

1 a 3 2.4 5 2.4.0 7

a jc* x* x^
arctangx = 7 + T •" (pour x<i).

arc tang* = ~+^-^-l-.... (pour^.).

FORMULES DIVERSES.

[ xxxix ]

n. x*+jb«+? = o, (j<qy

cos<p

__ P

x'

X*

tang? =

III. x*+px — q = 0.

Vil.
p
x' = sfq tang j<p.

x* = — jq COt?<p.

/? positif,

q positif ou négatif.

Résolution des équations du second et du troisième degré.

p positif ou négatif,
q positif.

I. x*+px-hq = o, yj>?\

zdq

sin<p= -*-2-«

«r' = -V^.tang|<p,
x* = — v^.cotjy.

x*-{-px -|-^ = o.

tang ? = ^i/|, tangx=^tang^

^'=-a\/5.cot2x,

x" | = y 3 ' cot2 * =*= ' V? • cosécax-
H. x^x+^o, (~>Ç)-

sin? = |^ y/y, tangx = v^àng^ .

x* = — % i/|cosécax»

^« | =. i/f cosécax ± *V? • cot2x-
in. x»-/>x-h? = o, (^<-j')-

"* fSS %\F

| = 2y/|cos(6o«>±iy).

x'"

&sinx = 2sinyAxcos(x4-7Ax). . &cosx =
sinAx . 4

AtangX = ; — — r* ACOtX =

° cosxcos(x-f-Atf)
Asin'x = — A.cos a x = sin Ax sin (a a: 4- Ax).

— 2 8in}Axsin(x-f-|Ax)

sinAx
"~"sinxsin(x-f-Ax) -

«/sinx = cosxdx.

dx
a tango? =

</cosx = — sinxdx.

dx
a cota? = ■

cos'x sin*x

t/.sin'x = — rf.cos'x = 2sinxcosxdx = sin2xdx.

d log sin x = cotx dx. d log cosx = — tangx dx.

idx idx

d log tangx = — rf log cotx = — /ro ' N

SU! 247

rflogtang(45°-4-«) =

C0S2X

Formules de Maskelyne. — Pour x très-petit, on a approximativement

sinx = x.(cosx)* , tangx = x.(cosx) \

Sî x est exprimé en secondes, soit R" = 206264", 8. . . , on a

sinx = =p yfcosx,

. X I

tangx = —_=,

tfC08*X

R'sinx 3/ — j—

x = - 3 = R" tangx vxos 2 x .

ycosx

Formules de développement en série.
I. X=V l — amcosa-f-wi 1 , log- = /wcosa 4- — C0S2a-f-^-c0S3a-f-.

... m sina

IL tangz = ,

1 — m cosa

. m' . . wr . „

z = /w sina H sin2«-i- — sin3a-+-.

2 3

[XL]

wmm

FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES.

Tableau des formules les plus usuelles pour la résolution des triangles*

Soient a, b, c les trois côtés d'un triangle rectiligne ou sphérique; .
A , B , C les angles respectivement opposés à ces côtés ;
p = | la -f- b -h c) le demi-périmètre du triangle ;
P = \ ( A -h B -{- C — 1 8o° ) le demi-excès sphérigue ;

S la surface du triangle plan ou du triangle sphérique tracé sur une sphère de rayon H,
Si le triangle est rectangle, A désignera l'angle droit, a l'hypoténuse; s'il est rectîla-
tère , a est le côté égal au quadrant.

TRIANGLES RECTIUGNES RECTANGLES.

DONNÉES.

I. a,B

n.

#, b

in.

M

IV.

b, c

i.

a, B, C

n.

#, b, A

ni.

b,c 9 A

IV. a, b, c

I.

ar, b

II.

b,c

III.

«, B

IV.

6,C

V.

B,C

I.

A, B

IL

B, C

m.

b, A

IV.

c, B

V.

b % c

I. a, b y c

IL A,B,C
in. a, B,C

IV. b t c r k

C = 9o°-B,

sinB = - y
a

C = 90 -B,
tangB = ->

b = a sinB,
C = 9o°-B,
« = 6 coséc B,
C = 9 o°-B,

c = a cosB.
c = a cosB.
c = b cotB.
a =

TRIANGLES REGTILIGNES OBLIQUANGLES

sinB

A=i8o°— B — C, b = a

sin B = - sin A ,

a J

sin A
C=i8o°-A

sin G
c = a-T—ri
sin A

B,

q_g* sinBsinC

~~ a sin A

sinC

b-c

sraA
cot|A,

i(B + C) = 9 o°-iA, tangi(B-C):

, sinA _ (6 + c)sin|A _ (*-QcosjA g = ±* csinA
^ihT»~ cosj(B-C) ~ sini(B-C)' & ~>* csinA -

S=/?.p.

tang | A = — £-

TRIANGLES SPHÉRIQUES RECTANGLES.

cosC = cotatang^.
tangC= coséc^tangc
tangC= sécacotB.
cosB = cosfcsinC.
cosc = cosécBcosC.

cosc = cosa séc£ , sin B = coséc a sin b ,

cos a = cos b cosc , tang B = tang 6 coséc c,

sin b = sin a v sin B , tangc = tang a cos B ,

cota = cot& cosC, tangc = sin& tangC,

cos a = cot B co t C , cos b = cos B coséc C ,

TRIANGLES SPHÉRIQUES RECTILATÈRES.

cosC = — cosAsécB, sin£ = coséc AsinB, cosc =— cotAtangB.
tang b = tangB coséc C,
tang C = — tang A cos b,
tangC= sinB tangc,
cosB =cos6 coséc c,

cos A = — cosB cosC,
sin B = sin A sin b,
cot A = — cot B cos c,
cos A = — cot 6 cote,

tangc = coséc B tangC .
tangc =— sécAcot&.
cos b — cos B sine.
cosC = coséc b cosc.

TRIANGLES SPHERIQUES OBLIQUANGLES.

. sin {p - a) sin (p - 6)sin [p-c) tanK^A = ^ ? -

sin/?
tang 2 |P = tang^/>tangi(/>- a) tangj (p-

-)'

6) tang -H/? -c),
cot j a =

sin(p

S = —ttR'

9°

, sin(A - P) sin (B - P) sin (C - P)
P ~ iînT ' ™ 3 " sin(A-P)

tangi(B + C) = S|^5cotU ï tâDg*(B-C) = gJ^cot*A,

cot^a =

C05

cos j (B — Q
coâi(B-hC)

eol ^ A+c » = iîilT§ colitt - t) -

FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES.

[*"]

(■)

Triangles rectilignes. — Formules générales.

a ^ b
sinA~~ sinB
a 5 = b 7 -\- c 2 — %bc cos A

: — — ~ = att= — rr •

sidC ^b

= (6-hc) 2 -4àccos 2 iA
= (6 — c) a H-4^csinHA
==(6+c) 2 sin 2 ±A-h(6--r) 2 cosHA.

(3)

fl = ^cosC-f-ccosB,
£ = ccosA-f-acosC,
c = ûcosB-h^cosA.

Triangles obliquangles, — Cas m et IV.

. . j asKnBasftsûiA, . I asin j(B — C) = (£ — cjcosjA,

l4 ' { «cosB=c-*cosA. [ ' { £icosi(B— C) = (^+c)siniA.

m.

IV.

(6)

(7)

sur

n_ (p-b)(p — c)

lA - Te

tangi(B-C) = tang(( ? -.45°)cotiA.
(8)

cosHA = £iZ^.

I.

II.

m.

IV.

rfA = -«fB-rfC,

cotBrfB = ^ - — 4-cotArfA,
de = sécB(<fa — cosCdfc — c sinBt/A).
dB = - {ainCdb — sinBrfc — à cosCtfA) ,
<& = cofifrtô + cosBdc 4- b sin (MA.

rfA = - cosécB (ûto — cosC*# — cosBdic).

^ = — - cot ArfA -h cotBrfB.
6 a

rfC = — rfA — tfB,

Triangles sphériques rectangles. — (ôcaB, ccoC).

VI. Étant donnés fc, B, on a

Bina = sin£ cosécB, sine = tang£ cotB, sinC = sécô cosB.

La résolution d'un triangle rectilatère se ramène à celle d'un triangle rectangle ayant

pour angles A'= 90 , B'= 180 — b, C' = 180 - e,

pour côtés a'=i8o° — A, £'=i8o° — B, c'= 180 — C.

Triangles sphériques obliquangles. — Formules générales.

(0

[costf=cos&cose-|-sin&sinecosA
= cos (b-{-c)-hz sin b sin c cos* \ A
=cos(6— e)— 2 sin ô sine sin 2 £ A W
=cos(6-K)sin 2 {A+cos(6— e)cos J £A.

(3)

sina
sin A'

sinft
sinB"

sine
sinC*

Isin * (B — C)sin|ûf=sin|(6 — e)cosjA, (4)
sin£(B4-C)cosj<i = cos|(ô — ejcosjÀ,
cosi(B— C)sin-itf = sin£(6-f-c)8iniA,
cosi(B-hC)cosi6 = cosi(^-4-c)sin^A.

co8A=-cosBcosC-f-3inBsinGcos«
=-cos(B+C)-a8inBsinCsin^a
=-cos(B-C)+2sinBsinCcos 2 ia
=-cos(B+C) cos 2 j#-cos(B-C) sin 2 ^.

cota sin c = cot A sinB -f- cos c cosB,
i cota sin£ = cotA sin C 4- cos 6 cos C,

coté sinrt = cot B sinC -4- cosa cosC ,
I cote sine = cot B sin A 4- cos c cos A,

cot c sin b = cotC sin A 4- cos& cos A,

cote sin a = cotC sinB-4- cosacosB.

C XLII ]

FORMULES TMGONOMËTRIQUES.

ï. 0, b t C*

IL A,B,C.

in. a, B, C.

IV. A, b, c.

V. * , b, A.

VI. A, B, a.

Triangles sphériques obliquangles.

sin(/>--6)Bin(/?-c) . . >t A _ g8n/>ain(/> — a)

,_ - cos^cosc

(3) tang ? = -

cosA =
sin a

, . lf sin(B-P)sin(C — P)

v ' 2 smBsinC

, ox A cosBcosC

(3) cot<p =

sine sine

C08(fl-h<p)

sin6sinccosy°

. . ... sinP8in(A — P)
(a) Bin*{a = * — -

sinBsinC

cosa =

(0

(0
(ï)

sin(A-f-?)
sin A ' " w 8in B sin C sin y "
cot<p = cosa tangB, cotx = cos« tangC,

_ cosBsin(C-~(p) __ cosCsin(B--x)
~~ sin<p ~~ sinx

cos

tan g a cos?

jtangc =

tango cosx

cos(B-x)

/tangy = cosA tang&, tangx= cosA tange,

cosAcosfc — f) cosAcos(6 — x)

costf = i — = r ~ »

cos<p

tangAsin<p

siu(c — <p)'

smB = -: — sin A.
sin a

[ tangB =

cos*

„ tangAsinv

tangC=^-fz v

5 sin(^-x)

[Pour sin a > sin fc , B c« £].

tang ? = cos^tangA, sm(C + <p) = -j^sinep, sm c = ^ smC.

cos ci sin A

(3) tangx=tang6cosA, cos(c-x) = ^^cosx, sinC= s ^8inc.

(4)
(0

cos£

— *«=t|£ïi»*«"-»'-=ft£ï|"««-»>-

sin £ = -r— -r sina. [Pour sin A > sinB, b c« B]

tang f = cosB tang* , sin (c - y ) = ^^ sin <p,

. ~ sinA .
sinC = -r — sine,
sin a

cos A

(3) cotx = tangB cosfl, sin(C-x) = j^sinx, sinc = ^ sm C.

(4) Les mêmes que les formules (4) du cas précédent.

(ï) d& = cosCrf&H-cosBrfr-hsiiicsinBflfA.

{*) dk — — cosc<£B — çQsbdG + smCsmbda*

(3( cotA^A — cotada = cQthdB — coïb db = cotCdC — cote de.

( 4 ) ^d + CQzQdB-^da + cQtb&mBdc = Q>

1 Y sinA Bina

Si a, £, c sont très-petits, on résoudra le triangle rectiligne ayant pour côtés «, b } c,

ougjj g*? jp, et pour angles A — |P, B — fP, C — fP, P étant le demi-excès

sphérique = £ ( A 4- B + C ) — 90 = 1 S ou = £ R" S, selon que Taire S du triangle est
exprimée en secondes ou en parties du rayon. On calcule S par Tune des formules rela-
tives aux triangles rectilignes. On obtient encore P par les formules plus approchées

tang|£tangjc=0, P = 0sinA — {0 2 sin2A-K...

Si a, 7r — b y 7r — . c sont trois arcs très-petits, la résolution du triangle proposé se
ramène à celle du triangle ayant ces arcs pour côtés. •

Si B et C sont très-petits, on résoudra le triangle ayant pour côtés 180 — A, B, C,
et pour angles i8o Q — a i b } c.

FORM. P r LA RÉSOL. DES TRIANGLES DONT CERT. ÉLÉM. SONT TRÈS-PETITS. [ xliii ]

DONNÉES.

QUANTITÉS

très-petites.

Triangles rectilignes rectangles.

I. «,B

i°. B

C = fl(i-±B'-hîVB<-...).

a°. 90°-B=C

c = «(C-iC 3 -hTkC 5 -...).

U. a,b

l0 - 5 = Ô

B=e + ie»+*0» -+-....

Ci b

8in(45°-iB)=y/^, cps(45°-jB) = y/^,

\a+b-°

tang(45°-|B)=v/9, C = »|/S(i -±0 + ±ô'-.. . .).
Triangles rectilignes obliqnangles.

I. a, B, C

i°. B = Ô
ou i8o°— B=0

* = iÊÂ( 9 -^ + - e '— •)•

a°. 90°-B=Ç

^iiïÂ^-^^ 4 — ■■)•

3°. B et C

, aB / , aBC+C'X

^b+cV 14 - 6 y

4 j 9 o°-C=*

* = B ^c[i-i"("4-e)+i« 1 ].

IL b, c, B

B

8inC = |(B-iB s + T i 7 B» -...);

ffl. b, c, A

i°. A

2 \/bc
tan SX=£Z^8iniA, « = (* — «Osée*.

2°.i8o°— A=0

sin\p = i^-^cos^A, « = (64-c)cos4>.

30. * = e

loga = logc — ôcosA — |0*cosaA — |0 s cos3A — ...,

B = ôsinA-f-i0 2 sinaA + |e 3 sin3 A + ."...

Triangles sphériqnes rectangles.

EL b, c

90 -*

tang'(45° — ±b) = 0, C = c-t-0sinac4-j0 a sin4c-t-....

ffl. «,B

i°. B

tang*£B = 0, c = a— 0sin2û+|0 a 8in4a—

2°. a

tang*|* = 0, C = 90 — B+ÔsinaB— ie 2 sin4B4-. . . .

IV. £,C

i°. C

lang^C = 0, a= ^- T -ôsinaô4-iô , sin46+

2°. 9O — £

tang 2 (45°-j&) = 0, B = £+.0sin2C--i0 , sin4C-K...
Triangles sphériqnes obliqnangles.

I. a, b, c

(90°- 6=0

{ 9 o°-c = Ç

A = «+ (i^Ytangifl-^^Ycot*fl. (Réd. à l'hor.)

III. a, B, C

180 — B

cotfBtangiC = e, j(£ — c) = |a— 0sinfl-t-|0 2 sin2a— ...,
cot}Bcot±C = Ç, i^-f-c)=i8o°-ia-Çsma-i^8in2a-...,
logcosiA = log(sinjBcosiC)4-0cosa---£0 2 cosatf-f-...,
logsiniA = log(sin{Bsin{C) — Çcosa — ^Ç 2 cos2âr — ....

IV. b, c, A

1

6

tangi^ cot ic=0, !■ (B— C)= ~9o°-|-4A-f-0sinA+iô , sinaA-h. . .,
tangi6tangic=Ç, i(B+C)= 9o°-{A-j-ÇsinA-K 2 sin2A4-...,
log sin \a = log(cos-}-6 sin £c) — cosA — £0'cosa A — . . . ,
logcosia = log(cos{^cosic)4-ÇcosA — {Ç , cosaA +

L XMV J

Nombres usuels avec leurs logarithmes

.

NOMBRES.

LOG.

NOMBRES.

LOG. 1

i = 0,5

1,69897

1

1 —

0,33333

1.52288 m

f** i,5

0,17609

z

3 —

0,66667

1.82391 1

i = 0,25

£,39794

j.

0,16667

1,221 85 ■

i = o, 7 5

I , 875o6

1 =

1,33333

0,12494 I

i ~ 0,125

7,09691

1

5" —

0,11111

1,04576 1

■jL — o,o8333

2,92082

1 __
TT —

0,04167

2,61979 1

v/ï = 1,41421

o,i5o5i

</î =

0,70711

ï, 84949 1

^/5 = 1,73205

0, 23856

tf =

0,57735

7,76144 1

v/6 s= 2,44949

0,38908

V^ =

0,40825

1,61092 1

V^5 = 2,23607

0,34949

\T\ =

0,44721

i,65o5i 1

,fîS.

= 3,16228

s 0,38268

, 5oooo
7,58284

/T5 =

3,87298
0,92388

o,588o5 I

1 ^ - v^ =

7,96562 1

J^ (x/5 — 1) = 0,30902

7,48998

1(^+0 =

0,80902

i,9079 6 1

i v'io — 2\/5 = 0,58779

7,76922

i ^10 + 2/5 =

0, 95106

1,97821 I

V^2 = 1,25992

o,ibo34

Vï —

0,79370

1,89966 I

^/3 bb: 1,44225

0,15904

0,69336

7,84096 I

J/6 = 1,81712

0,25938

a / T —
VF ~

o,55o32

1,74062

(*) tt = 3,i4i5 9

o,497i5

1

o,3i83i

1 , 5o285

27T = 6, 283l9

0,79818

1 __

27T

0,15915

1,20182

j = 0,78540

7,89509

4 =

1,27324

0,10491

7r

- = o,5236o

7,71900

6 __

1,90986

0,28100

^ = 4,18879

0,62209

3
4tt

0,23873

7,37791

•

IS * °> oo8 7 3

3,94o85

36o

— =

«4,59i56

2, 05915

7l 3 = 9,86960

0,99430'

I
77*

0,IOl32

1,00570

yÇ = 1,77245

0,24857

v^ =

0, 564i9

7,75i43

y /je = 0,80600

7,9o633

v* =

1,24070

0,09367

V4» c

0,20736

7 T

V4t ~

o,62o35

1,79264

/ 36o°

2, 5563c

T *

( 24 h

i,38o2i

Circonférence. J 21600'

4,33445

Jour

j i44o m

3,i 5836

( 1296000"

6,11261

*

.( 86400 8

4, 9365i

57°,2958

i,758ia

i° =.

0,017453

2,24188

Rayon

3437',75

3,53627

i* =

0,000291

4,463t3

206265"

5,3i443

1" =

o,ooooo5

6, 6855 7

-j^duquadr, = o°,9

£,95424

i° =

i s ,iiiii

0,04576

TTbïTu =0 ,54

1,7323g

1' =

T,85i85

0,26761

,'Pïimnï - = °"» 3a 4

i,5io55

i ff =

3",o8642

0,48945

(**) e = 2,71828

0,43429

lognat. * =

i,i4473

0,05870

M = togvulg.tf = 0,43429

7,63778

=rj = lognat. 10 =

2,30259

0,36222

1 "(*) Rapport delà c

îrcotifèrcncc a

u diamètre.

(**) lîa&c dos logarithmes nature

U.

Demi-axe équatorial de la Terre , en mètres (Bessel). .

Demi-axe polaire

Rayon de la sphère de môme volume que la Terre.

Aplatissement

NOMBRES.

a — 6377398

b = 6356o8o

6370284

a — b _. ,

~ — *99, IS3

Excentricité de l'ellipse méridienne.

Degré d'équateur, en mètres

Degré moyen de méridien ( =fc 5 m ,54)

Quart du méridien ( ± 498 mètres)

Mille géographique allemand (yj de degré d'équat.).

Lieue marine, de 20 au degré

Mille marin , de 60 au degré

Lieue de 25 au degré

Lieue de poste de 2000 toises

s/

a*-£'

= 0,081697

iii3o7

111121

10000857

7420,4

5555,6

i85i,9

4444,4
3898,1

[ *lv J

LOG.
6,80464

6,80319
6,80416

3,5*4"

2,91221

5,o4652
5,04579
7,00004
3,87043

3,74473
3,26761
3,64782
3,59085

NOMBRES.

?^ ( àTéquat... 9,78062
|| ] à45°delat. 9,80604
|S ( àParis.... 9>8©944

-= 0,10198
A45°delat.( g

^2g = 4 ) 4*855

LOG.
0,99037

<>,99l49
0,99164

i,oo85i
0,64626

il

NOMBRES.

àTéquat... 0,99098
à45°delat. 0,99356
à Paris.... 0,99390

A45°delatJ

te

= 1, 00324

-=.= 0,2258l

Anciennes Mesures françaises.

Toise i m ,949°4

Pied o ,n ,32484

Pouce o m ,o2707

Ligne o m ,oo226

Toise quarrée. . . . 3 mq ,79874

Pied quarré o mq , io552

Pied cube o œc ,o3428

Livre ( poids) 48o/ r ,5o6

Once 3o« r ,594

Grain o* r ,o53i

Livre ( tournois ) . . 0^,98765

Yard o m , 9 i438

Pièd(foot = iyard) o m ,3o479

Pouce(inch = Vjf.) o m ,o254o

Mile (1760 yards). . i6o9 m ,3i

Yard quarré o^^ôio

Acre (4840 yards q) 0^,40467

Gallon

Pint (1 gallon) ....
Bushel (8 gallons) .
Grain (en grammes)
Livre troy (5760 gr)
Liv.avdps(7ooogr)
Cwt(ii2timef

Mètre
en

4 ut ,54346
o ut ,56 7 93

36*3477
o» f ,06480
373« r ,226
453« r ,57
5e**,7g9
Livre sterling 25 fr ,2i

o , 28982
£,51167

2,43249
3, 3533i
0,57964
£,02334
2,535oi
2,68976
£,48564
2,72522
I, 99460

Mesures anglaises
T,96u3

toise. .

pieds. .

pouces.

lignes..

M. q. j toise q —

en ( pieds q. . .

M.c. en pieds cubes

Gramme i

{ once...
en 1

{ grains.

Franc en livre

£,48401
2,40483
3,20664
1,92226
1,60710
0,65739
1 ,7543o
£,56V>48
2,8n55
2,57197
.2,65664

1,4016

Mètre
en

yard. .

pieds..

pouces.
Kilom. en mile. ..
M. q. en yard q. . .
Hectare en acres. .

Litre en gallon

Litre en pint 1,76077

o,5i3o7

3,07844
36,94i3
443,296
0,26324
9,4768

29 y 1739
0,00204
0,03269
18,8271
1,0125

1,09363
3 , 28090
39,3708
o,62i38
1,19603
2,47114
0,22010

Sack (3 bushels).
Gramme en grains.
Kil. en livres troy.
Eil. en liv. avdps. .
Tonfwjcwts).

1^,09043
i5,433
a, 679

2,205
1016^,0

Shilling '.:. i fr ,i6

_ LOG.
£; 99 6 °7

£>997i9
i; 99734

0,00140
7,35374

1,71018
o,48833
1,56751
2,64669
T, 4io36
0,97666

£,46499
3, 31024
2,5i436
1,27478
o,oo54o

o, 03887
0,51599
£,59517
1,79336
0,07774
0,39290
1,34261
0,24570
0,03760
1,18845
0,42803
o,34336
3,00689
0,064

[ XLVI J

Densités des solides et des liquides.

NOMBRES.

Platine ai, 53

Platine laminé 22,06

Or forgé 19, 36

Or fondu 19,26

Argent fondu 10, 47

Ârgent9oo, cuivre 1 00. 10,121

Cuivre fondu 8, 85

Cuivre laminé ou forgé. 8,95

Cuivre jaune 8, 427

Bronze des canons \ . ' 4 \ .

(a.. 9,235

Bronze antique 9,200

Plomb fondu 11, 35

Bismuth 9,822

Étain 7,^91

Zinc 7,19

Fer 7,788

Ferfondu 7,200

Acier doux 7, 833

Acier trempé 7,816

Aluminium fondu .... 2 , 56

Aluminium écroui ... 2,67

Potassium o,865

Sodium 0,972

Soufre 2,086

Diamant 3,55

Houille compacte. ... 1 , 33

Glace à o° 0,918

Sel marin 2, 207

Gypse 2,33

Porcelaine de Chine. . 2,384

Verre à vitres 2, 523

Cristal 3,33o

log.
i,333o
i,3436
1,2869

1,2847
1,0199
i,oo52

0,9469

0,9518

0,9257

0,9264

0,9654

0,9638

i,o55o

0,9922

0,8628

o,8567

0,8914

0,8573

0,8939

0,8930

0,408

0,427

.1,988
o,3i93
o,55o
0,124

i,963

o,3438

0,367

0,3773

0,4019

0,5224

NOMBRES.

Ardoise 2,114

Grès 2,5

Granit , marbre 2,7

Pierre à bâtir 1,8

Brique dure 1 , 56

Brique rouge 2,17

Buis 0,91

Chêne 0,808

Chêne de 60 ans (cœur) 1,17

Hêtre 0,823

Orme 0,723

Sapin 0,493

Peuplier 0,477

Liège 0,240

Caoutchouc 0,989

Gutta-percha o , 966

Cire ;.. 0,963

Corps humain 1 , 066

Eau 1

Mercure à o° 13,59593

Ac. suifuriqueconcent. 1 , 84 1

Ac. azotique fumant . . 1 , 45 1

Ac. azot. du commerce. 1 , 22

Ac. chlorh . concentré . 1 , 208

Alcool absolu 0,792

Al. au maxim. de dens. o , 927

Éther 0,715

Essence de térébenth . o , 869

Eau de la mer 1 ,026

Lait i,o3

Vin de Bordeaux o , 994

Vin de Bourgogne. ... o , 99 1

Huile d'olive 0,915

Densités des gaz et des vapeurs, celle de l'air étant 1.

Oxygène i,io563

Hydrogène o , 06926

Gaz oléfiant 0,978

Chlore. 2j47o

Azote 0,97137

Cyanogène 1 , 80G

Oxyde de carbone . . . 0,957

o, o436i
2,84o5

1,9903
o , 3927
7,98738
0,2567

7,9809

Acide carbonique .... 1 , 52901

Acide chlorhydrique . 1,247

Acide suif hydrique. . . 1 , 191

Vapeur d'eau o , 6a35

Vapeur de mercure. . 6,976

Vapeur d'éthcr* 2,586o

Vapeur d'alcool i,6i33

Poids du litre d'air (à o* et o^Ô) à 45* de la t. et au niv. de îa mer. . . 1 ,r , 2927 4 3

— — à Paris (= 1 : 773,28) - 1,293187

Rapport du poids du merc.û celui de rair,à45° de lat.o tau niv.de la m. io5i7,3

■*- — à Paris — » io5i3,5

Coefficient de dilatation pour i° de Vair atmosphérique 0,003670

— — dumercure 0,000179

LOG.

o,3a5i
0,40
0,43
0,26

<M9
0,34

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7,907

0,068

1,9*5
1,859
£,693
£,679
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i,995
i, 9 85

7,984
0,028
o
1,1334090

0,2Ô5l

0,1617

0,086
0,082
i>»99
i>967
1,854

i ? 939

0,0111

o,oi3

7,997

1,996

1,961

0,18441

0,0959

0,0759

î,7948
o,8436
0,4126
0,2077

O, IIl5l2I

0,1116613

4,021904

4)021747

3,5647

4,2629

I.

TABLE DES LOGARITHMES

DES NOMBRES ENTIERS,

DEPUIS 1 jusqu'à 10800*

L.

»-47

o

i

3

3

4

5
6

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9

10

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13

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33
33

34

35
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33
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35
36

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39

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43

44
45

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5i

53

53

54

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63347
64345

65331
66376
67310
68134
69030

69807
70757
71600
73438
73339

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06070
06446
068 10
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07555

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4,88857; 87

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11059

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33789

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333oo
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338o5
34o55

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2455i
24707
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35537

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333
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339

330
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333

333

334

335
336
337
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90634
90687
90741
9°790

90849
90902
90956
91009
91062

91116

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91222
91275
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0201 5

02020
02024
02028
02032

02036
02040
02044

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02053

02057
02061
02065
02060
02073

02078
02082
02086
02090
02094

02098

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02107
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[37]
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02226
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02239

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02247
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02255
02259

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02268
02272
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0232Q

02333
02338
02342

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02362

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0609

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0617
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10620

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02465

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02Z73
02417
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02485

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02494
02498

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025 1 4
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0676

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0679

10680

Xioç,

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02617
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02645
02649

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02657
02661
02666
02670

02674
02678
02682
02686
•2690

02694
02698
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02706
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O272O
O2727
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02739
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02747
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02759
02763
O2768
O2772

O2776
O2780
O2784
O2788
O2792

02196
02000
02804
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02821
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0282Q

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02837
02841
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02853

02857

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0681
0682
o683
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0686
0687
0688
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0691
0692
0693
0694

0695
0696
0697
0698
0699

0700
0701
0702
0703
0704

0705
0706
0707
0708
0709

0710
0711
0712
0713
0714

0715
0716

07
07
0719

0720
0721
0722
0723
0724

0725
0726
0727
0728
0729

0730
0731
0732
0733
0734

0735
0736

° 7 oZ

0738
0739

10740

I-og. B

02857
02861
02865
02869
0287S

02877
02882
02886
02890
02894

02898
02902
02906
02910
02914

02918
02922
02926
02930
02934

02938
02942
02946
029S1
02955

02959
02963
02967
02971
02975

02979
02983
02987
02991
02995

02990
o3oo3
03007
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03096

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0740
0741
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0744

0745
0746
07/.

975o
0751
0752
0703
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0756
0757
0758
0759

0760
0761
0762
0763
0764

0765
0766
0767
0768
0769

0770
0771
0772
o 77 3
0774

0775
0776

0777
0778

0779

0780
0781
0782
0783
0784

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0786

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03197

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o3254
o3258

03262
03266
03270
03274
03278

03282
o3286
03290
03294
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o33i4
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03322

o3326
o333o
o3334
o3338

03342

lK>g. B

p.p.

p.p.

[38

]

Conversion des degrés, mi-
nutes et secondes en par-
ties décimales du rayon.

— - — • —

Conversion des parties décimales du rayon
en degrés, minutes et secondes.

Quorti de «erole*

Rayon*.

i

2

1,5702 9633

3, 1410 9365

3
4

4,7133 8898
6,383i 853 1

1
2

• t m

5t. 17.44,81
114 3o. 39,61

3
4

, „
171.53. 14, 4 2 5
339.10.59,33 6

286°28'.44%3
34346.38,84

I
2

3

i

6

l

9

Degré*.

Minute*.

Secondes

Dixièmes.

Centièmes.

Millièmes.

Dix-
millièmes

'Cent-
millième*

3
3

4

5
6

l

9

0,

0124 W39

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o523 5o88
0698 i3i7
0872 6646

1047 197Ç
1221 73o5
1396 2634
1570 7963

0,00
02 0089
o5 8178
08 7266
n 6355

14 5444
17 A533

20 3622

23 2711

36 1799

0,0000
©485

W

3434
2909
3394

38 7 o
4363

5°43'.46' r ,48
n. 37. 32, 96
17.11.10,44
33.55. 5,93

38.38.53,40

34 22.38,88
40. 6.35,36
45.5o.ii,84
5i.33.58,33

© 1 H

0.34-33,65
1. 8.45,3o
1.43. 7,04
3.17.30,59
3.5i.53,34
3.26.15,89

4. o.38,54
4.35. 1,18

5. 9.23,83

3 # . 36*, 26
6.53,53
10.18,70
i3.45,o6
17.11,32
20.37,59
24. 3,85
27.30,13
3o,56,38

0'. 30*63
0.41,35
1. 1,88

I.33,5l
1.43,l3
3. 3,^6
2.24,39
2.45,01

3. 5,64

2*06
4,i3
6.10
8,35
10, 3i
13,38

i4,44
16, 5o
i8,56

Conversion des degrés ,
minutes et secondes
en parties décimales
du quart de cercle (*).

Conversion des parties décimales
du quart de cercle en degrés,
minutes et secondes.

Conversion des
minutes et se-
condes en par-
ties décimales
du degré (*).

1
3
3

4

5
6

l

9

Degrés

°?

Of3)
o(3)

o4
o(5)

ii

1

Minutes.

Secondes

Dlxièm.

Cen-
tièmes.

Millièmes

Dix-
millièmes

Cenfr-
miliièmes

Minutes.

Secondes .

I

3

3

i

6

l

9

0,00

0(1 85)
0(320)
o555)
o(74o)
0(935)
i(iii)
1(306)

i(4§0
K666)

0,0000

o3o86£
061228
093593
123457
i5433i
i85i85
316049
346914
377778

.1

II

S

63

0°5^
1.48
3.43
3.36
4.3o
5.34
6.18

5'.34"

10.48
16.13
31.36
37.
32.24
3748
43.13
48.36

0.33,4

1. 4.8
1.37,3
3. 9,6
3.42,0

3.i4,4
3.46,8

6,48

9,72
12,96
16,20

«9.44

22,68
25,92
29,16

0,

o3 v 3)
o5

06(6)
o8(3)

îi(6)
i3(3)

0,00

02(2)

o5(5)
o8(3)
11(1)
i3(8)

38

22(2)
35

(*) L« parniiilièseft recta rm«nt 1* période de la frac Li on décimale.

Table des multiples de 36 et de 6 pour servir à la conversion des degrés

et minutes en secondes, et réciproquement.

d

b

f

Dixaine*,

G
a

•

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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1

2

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5

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1080

1440

1800

2160

2520

2880

3240

60

120

180

340
346

3oo

I

36

$

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1116

1476

i836

2106

22J2

2556

2916

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66

126

186

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1

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73

m

Il52

1513

1872

2bfl2

2952

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13

73

l32

192

352

3l3

2

3

108

468

1188

1548

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2268

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24

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4

5

54o

900

1360

1620

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83 deg.

[«]

7*g.

Sinus.

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08692
08795
08897
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09606
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0106

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1761
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2799
2892

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Cotéo.

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o,9o494

0,90394
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0,90093
0,89994

0,89894

0,89795

Q 5 0,89696

98|°» 8 9499

8 o, 89401

5 o,893o3
98 °^92o5

97 °^ 9, ° 7
97 0,89010

07 °' 88 8 l3
52 0,88816

06 °' 88 7 , 9
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IJ.0,88536

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94 °#388
o3 °' 8 ? 2 94
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j> 3 0,87108

3 'o, 87015
*Z 0,86922
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92

0,86645

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9J 0,86461

oî °' 862 Z 8
jj! °» 86l8 7

0,86096
0,86006
o,85qi5
o,85825
r 85 7 34

0,85644

Séc.

Tang.

9,14780

09019
09123
09227
09330

09434
09537
09640

09845

09947
0049
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101
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100

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99
99
99

99
98

Cot. D. Tang,

Cot.

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90463
9o36o
90258
90i55

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89-145
89344
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89144

88449
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88253
88i55

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87960
87862
87765

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87475
873/9
87283
87187

87091
86996
86901
86806
86711

86616
86522
86427
86333
86239

86146
86o52
80959
85866
85 77 3

8568o
85588
85496
8;>4o3
853i2

0,852 20

Séc.

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o,oo326
o,oo328
o,oo33o
o,oo33i

o, oo333
o,oo334
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o,oo339

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o,oo358
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o, oo363

o,oo365
o,oo367
o,oo368
0,00370
0,00371

0,00373
0,00375
0,00376
0,00378
o,oo38o

o,oo382
o.oo383
o,oo385
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o, oo388

0,00390
o ,00392
0,00393
0,00395
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0,00402
0,00404
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0,00407

0,00409

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0,00412

0,00414

0,004 16
0,00418
0,00^19
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0,00423

0,00425

Cosin.

9,9967?
9>99674
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9.99670
9,99669

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9.99666
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9,99645

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9»99637

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9,9963o
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9,99627
9,99625
9,99624
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9,99620

9,996i8
9,996i7
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9,99586

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9*99582
9,9958i
9,99579
9,99577

9,99575

Coséo. Sinus

45

Part. prop.

io5

104

il

10

12

12

14

14

16

18

18

17

85

85

83

63

70

69

88

87

io3

10
11

14
15
17
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6

10

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51

40

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15

10

17

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49

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65

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82

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14

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47

46

6»

61

78

77

2L

10
11
18
15
16
82
49
65
81

Part* prop.

8a deg.

8 deg.

[49]

Sinus.

4356

4445

4535
4624

47*4

48o3

4891
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5i5 7

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7724

7807
7890

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8383
8465
854 7

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8 9 5:

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9 ii3

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9273

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Coféo.

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0,85555
o,85465
0,85376
0,85206

0,85197
o, 85109
o,85o20
o,84q3i
0,84843

o,8Â755
0,8/5667
0,8^579
0,84492
0,84404

o,843i7
o,8/p3o
o,8/ji43
o, 84056
0,83970

0,83884
0,83797
0,83711
o,83626
o,8354o

0,83455
0,8336g
0,83284
0,83199
o,83n4

o,83o3o
0,82045
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0,82277
0,82693

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0,82359
0,82276

0,82193
0,82110
0,82027

î'V.m

o,8io63

0,81780
0,81698
0,81617
o,8i535
o,8i453

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0,81210

0,8lI2Q
0,8lo4o

0,80067
0,80887
0,80807
0,80727
0,80647

o, 80567

Tang.

780

J72

4963

5o54

5i45

5 2 36
5327
54.7
55o8
5598

5688

5^67
5g56
6046

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6224
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6489

6665
6753
6841
6928

7016
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7190

7622
7708
7794

7880
79 65
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9725

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Cot.

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83335
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81694
81609

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6

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81 351

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18

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80357
80275
80193
801 11

0.80029

Séo.

0,00^2 5
0,00426
0,004*28
o,oo43o
0,00432

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o,oo44 J

0,00^61
o,oo463
0,004 65
0,0046'
0,0046!

0,00470
0,00472
0,00474
0,00476
0,00478

0,00480
0,00482
0,00483
o,oo485
0,00487

0,00489
0,00491
0,00 /j g3
0,00495
0,00497

0,00499
o,oo5oi
o,oo5o3
o,oo5o5
o,oo5o6

o,oo5o8
o,oo5io
o,oo5i2
o,oo5i4
o,oo5i6

o,oo5i8

0,00520
0,00522
O, 00524

0,00526

0,00528
o,oo53o
o,oo532
o,oo534
o, oo536

o,oo538

Cosin.

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9953'
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99528
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99524
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995 1 5
9951 3

995 11
995o9
99507
995o5
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99499
99497
99495
99494

99492
99490
99488
99486
99484

9»9946a

Cot. D Tang. Cotée. Sinus.

81 deg.

:i

10

Part. prop.

91

90

t

9

11

11

11

lt

14

14

15

15

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67

66

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56
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8

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11

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27

27

41

41

55

64

68

68

8
9
11
12
18
27
40
58
67

Part, prop.

[50 1

9 <kg-

Sinus.

19433
I95i3

19^
19672
19761

19830

1 99<'fl
1998g
20067
20145

20223
20302

2o38o
20458
20535

2061 3
20691
20768
20845
20922

20999

21076
2ii53

2122)
2l30<

21382

21458
21534
21610
2i685

21 761
21 836
21912
21987
22062

22137
2221 1
22286

2236

22435

22500
2258$

22657
22731
22805

22878
22952

23025

23098
23171

23*44
23317

23 3 90

23ii62

235*35

23607
23679
237Ô2
23823
23895

9) 23967

t CkMin. 1>

Cotée.

5.

80567
80487
80408
8o328
80249

80170
80091
80012
79933
855

79777
7969»
79620

79465

79387
79309
79232
79i55
79078

70001

7 s§? 4

7 8 ,

78694

78618
78542
78466
7 83 9 o
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78164
78088
78013

77938

77863
777 r

77 2ï

77Ô3,
7756;

77491
77417
77343
77269
77195

77122
77048
76975
76902
76829

76756
76683
76610
76538
76465

7 63 9 3
76321
76248
7 6i 7Z
76106

0,76033

Séo.

Tang.

I997I
20o53
20134
20216
20297

203^8
20459
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84

Part. prop.

73 deg.

[88]

17 deg.

J

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Tang.

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Cot.

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Tang.

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0,01962
0,01956

0,01960
0,01964
0,01968
0,01971
0,01975

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0,01983
0,01987
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0,01995

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0,02007

0,02011

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0,02030

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0,02046

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Cotée.

Costa.

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13

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20

40

26

80

33

Part. prop.

7a deg.

18 deg.

[89]

Sinus. B Coséo. Tang

10
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12

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36

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39

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0,02246
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0,02279

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0,02296
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Coséo.

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B Sinus.

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Cot.

Cot.

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46016
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45935

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27

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Cot.

Cot.

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3635

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3344
33i 7

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3s64
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3 106

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3 97 3

2947

3021

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2842

381 5

3789

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2736
2710

2683
2657
363 1
2604
2578

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3525

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3430

3341
23 1 5

Tang.

Séc.

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0,0952c

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0,095-76
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0,09595
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0,09632
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0,09661

0,096;

o

0,09690

0,09708

0,09718
0,09727
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0,09746
0,097.^

0,09765

Coséo.

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90787

90777
90768
90759

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9074'
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90722
90713

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90676

90667

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90273
90263
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90344

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[77]

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11

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[78]

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78576
78592

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78625
78642
78658
78674

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de cercle, avec l'évaluation des arcs en parties du ri

du jour.

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0,1 56

0,1 58

1,012

81

5.24

,,4.4

0,175

0.40
o.44
0.48

10

0,174

5,7^9

0,176

5,671

i,oi5

0,985

80

5.20

1,396

0,192

11

0,191

5,241

o,i94

0,2l3

5,i{5

1,019

0,982

79

5.i6

■ï379

0,209

ift

0,208

4,8io

ï&

1,022

°,97 8

78

5.12

i,36«

0,227
0,244

o.5a

13

0,225

2,445

0,23l

1,026

o,974

77

5. 8

i,344

o.56

14

0,242

4,i34

0,249

4,011

i,o3i

o,970

76

5. 4

1,326

0,262

1.

13

0,259

3,864

0,268

3,732
3,487

i,o35

0,966

78

5.

1,309

0,279

VA

16

0,276

3,628

°'? 8 Z

o,3o6

1,040
1,046

0,961

74

4.56
4.52

1,292

0,297

o,3i4

17

0,292

3,420

3,271

0,956

73

1,274
1,257

1.12

18

0,309
0,326

3,236

o,325

3,078

i,o5i

o,95i

72

4.48

o,332

1.16

19

3,072

o,344

2 >9°4

i,o58

0,946

71

4.44

i,23 9

o,349

1.20

20

0,342

a»9 a 4

o,364
o,384

VJ&

1,064

o,94o
0,934

70

f4o
4.36

1,222

0,367

1.24

21

0,358

a,790
2,669

1,071

69

I,20i

o,384

1.28

22

o,3 7 5

0,404

2^356

:;»

°,9 2 7

68

4.32

1,187

o,4oi

0,419

1.32

23

0,391

2,559

0,424
0,445

0,921

67

4.28

1,169

i.36

24

0,407

M$9

2,246

1,095

o,9«4

66

4.24

l|l52

0,436

1.40

23

0,423
o,438
o,454
0,469

2,366

0,466
o,488

2,i45

i,io3

0,906
0,899

63

4.20

1,134

o,454

!:8

26

2,281

2,o5o

i,u3

64

4.16

1,117

0,4-71

0,489

o,5o6

27

a,2o3

o,5io

i,963

1,122

0^883

63

4*12

1,100

i.5a

28

2,i3o

o,532

1,881

i,i33

62

4. 8

1,082

i.56

29

o,485

2,o63

o,554

1,804

1,143

0,875

61

4. 4

i,o65

0,524

2.

30

o,5oo

2,000

0,577

1,732
1,664

i,i55

0,866

60

156

1,047

0,541

VA

31

o,5i5

vM-

i,836

0,601

1,167

0,857
0,848

89

i,o3o

o,55o
0,576

32

o,$3o

0,625

1,600

1,179

38

3.52

1,012

2.12

33

o,545

0,649

i,54o
i,483

l t l 9*

0,83g

87

3.48
3.44

o,995

0,593

2.16

34

0,559

1,788

0,675

1,206

0,829

36

o,977

0,611

2.20

33

0,574
0,588

1,743

0,700

1,428
1,376

1,221

0,819

88

3.4o
3.36

0,960

0,628

2.24

36

1,701

0,727

i,236

0,809

84

o,94*

0,646

2.28

37

0,602

1,662

0,754

1,327

1,252

0;$

83

3.32

0,925

o,663

2.32

38

0,616

1,624

0,781

1,280

1,269

82

3.28

0,908
0,890

0,681

2.36

39

0,629

i,58 9

0,810

i,235

1,287

°>777

81

3.24

0,698

2.40

40

o,643

i,556

o,83 9

1,102

i,3o5

0,766

80

3.20

0,873
o,855

0,716

2.48

41

o,656

1,524

0,869

i,i5o

i,325

0,750

49

3.i6

0,733

42

0,669

ï;#

0,900

1,111

i,346

0,743
0,731

48

3.12

o,838

0,750

2. 52

43

0,682

o, 9 33

1,072
i,o36

1,367

47

3. 8

0,820

0,768

2.56

44

0,695

1,440

0,966

1,390

0,719

46

3. 4

o,8o3

0,785

' 3.

4»

0,707

i,4iî

1 ,000
Got.

1,000
Tans;.

Mi4

0,707
Sin.

48

3.

0,785

Ara.

Om.

Sèo.

Coséc

Ara.

Table auxiliaire pour la conversion des parties de la circonférence en
parties du jour, et réciproquement.

Qm

O'

4

8
12
16
20

3

32

36
4o

S8

0,2
0.2(6)

o,3(3)

M(6)
o,5(3)
o t 6

o,4

o,5

0.6

o,

o,:

0,9

6>
7»5
9.0
io,5
12,0
i3,5
i5
3o
45

270
36o

6»»
12
18
*4

«',571
3,142
4 .7»a

6,283

Conversion des heures, etc., en
parties décimales du Jour.

0,

04 1(6)
o83f3)

125

166(6)
2o8(3)

25

PS

375

Minâtes.

"ôToô"

2o8(3)

2 7717 (
5fi

6:

4'86|

555(5!

625

Secondes.

0,000

on 5(740)
023 1(481)
0347(222
0462(962)
0578(703)

o6 9 4(444)
o8iofi85)
0925(925)
! 04 H 666)

[OTJ

III.

TABLE DES LOGARITHMES

D'ADDITION ET DE SOUSTRACTION.

1°. Logarithme» d'addition. — Étant donnés loga et log6, trouver log(a + 6).

Soit a > b : on prend , par soustraction , le logarithme du rapport r> que Ton cherche

dans la colonne marquée R. ; on prend le nombre correspondant dans la colonne mar-
quée ii. ad., et on l'ajoute au logarithme de a,

a°. Logarithmes de soustraction. — Étant donnés loga et log6, trouver log(a — b).

a étant > 6, on prend , par soustraction, le logarithme du rapport t> que Ton cherche

dans Tune des colonnes marquées &., soit en haut, soit en bas; on prend le nombre
correspondant dans la colonne voisine , marquée de même !■• s. , et Ton retranche ce
nombre du logarithme de a.

Nota, L'interpolation se fait dans ces Tables absolument comme dans les Tables
ordinaires, en ayant soin seulement de retrancher les parties proportionnelles des diffé-
rences, au lieu de les ajouter.

[.«*]

ADDITION.

0,000
0,001
0,002

o,oo3
o,oo4

o,oo5
0,006
0,007
0,008
0,009

0,010

0,011
0,012
o,oi3
0,014

o,oi5

0,016

0,01

0,01

0,019

0,020

0,02

0,022

0,023

0,024

0,025

0,026
0,027
0,028
0,029

o,o3o
o,o3i

0,032

o,o33
o,o34

o,o35

o,o36

o,o3

o,o3i

0,039

0,040
0,04 1
0,0^2
o,o&3
0,044

0,045
0,046
o,o4 7
0,048
0,049

o,o5o
o,o5i

0,052

o,o53
o,o54

o,o55
o,o56
o,o5t
o,o58
0,059

0,060

Ii. ad

0,

3oio3
3oo53
3ooo3
29953
29903

2985-
2980,
2975..
29705
29655

29606
29556
2950;
29^58
2940g

29359

293 H
2926
29212
29163

291 1 5
29066
29017
28968
28920

28871
28822
28774
28726
28077

28629

2858i

2853

28484

28436

28388
28340
28202
28245
28197

28149
28101
28054
28006
27959

27011
27864
27817
27769
27722

27675
27628
27581
27534
27487

27440

273^6
27300
27253

48

Ii. ad

060
061
062
o63
064

o65
066
06-
06I
069

070
071
,072
op
074

075
076
077
078

079

080
081
082
o83
084

o85
086
087
088
089

090

09
092
o 9 3
094

095

099

100
101
102
io3
104

io5
106
10
loi
109

110
m
112
n3
114

n5
116
117
118
"9

0,

27207
27160
27114
27067
27021

26974
26928
26882
26836
26790

26744
26698
26652
26606
2656o

265 1 5
2646*
26Â2!
26J1Ô

26302

26287
26242
26196

261
26106

2606

26016

25970

25926
2588 1

25836

25 7 J

2071

25701

25657

256 1

25568

25523

3ff

25390
25346

25302

25258
25214

25170
25 126
25082
25o38
24994

733

0,120

R. Z..ad D

43

X..ad

0,180

0,

24516

a ra 3
24430

34387
4344

3oi

258

216

2Ain3

24100

24088
2jo45
2^oo3
i3$6o
23918

238 7 5
23833
23791
23 7 4 9
23707

23665

23623

2358

23539

23497

23455
23414
23372
2333o
23289

2324'
23201

23i65

23 123

23082
s3o4i

23000

22950
22918
22877

22836
22795
22754

22673

22632
22591
2255 1
225 10
22470

22430

22389
22349
22309

222f

22229
22189
221 '
22109
22069

22029

!■. ad

180

18
182
i83
184

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186
183
188
'89

190

'9'
192
103
»S>4

195
196

197
198

"99

200
201
202

203

204

205

206
207

208
209

210

21

212

2l3

2l4

2l5

216
217

218
219

220
221
222
223
224

225
226
22T
22Ô
229

230

23

232

233

234

235
236
237
238
a3 9

0,

M02 9 40
21989 l
949 l
21010 /X
2.§70 £

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2 T 2 3 9

ib 7 3 3^

ai 5^
ai 51 6
^477

0,240

Ii. ad

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21438

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2i36i

21 322
21283

21244
21206
21167
21128
21090

21052
2I0I3

209^5
20957

20898
20860

20822
20784
20746
20708

20670

20632
205û4

20557
2o5ig

20481
20^44

20406
20369
2o33i

20294
20257

20220

20182
20145

20108

200TI

20054

«9997
19960

19923

19887

19850
19813

'9777

19740

0,

R. Ii. ad D

?9

0,285
0,286
0,287

0,288
0,289

0.290
0,291

0,292
0,293
0,294

0,295
0,296
0,297
0,298
0,299

o,3oo

L.ad

0,

974?
97°4

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9^

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8985

8949
8014

8879

8808
8733
8 7 38
8703

8668
8633

8599
8564
852 9

t

18425
18390
i8356

8322

8287
8253
8218
8184

81 5o
8116
8082

8014

7980
7946

J V
7845

7811

7744
7710
7677

17643
0,

H, L.ad D

P. prop.

49 47

45

1

6

2

9

8

1*

4

18

8

18

a

27

7

82

8

86

9

41

43

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1

4

2

8

8

12

4

16

6

21

6

28

7

29

8

88

9

87 J

36

1

4

2

7

8

11

4

14

S

18

6

22

7

26

8

29

9

82

P. prop.

[89]

ADDITION.

. &.ad D &. IV ad D R. Lad » H,. &.ad D B» I..ad I>

o,3oo
o,3oi
o,3o*
o,3o3
o,3o4

o,3o5
o,3o6
0,307
o,3o8
0,309

o,3ïo
o,3n
o,3 1 y
o,3i3
o,3i4

o,3i5
o,3i6
o,3i 7
o,3i8
0,319

o,3ao

0,321
0,322

o,3a3
0,3*4

0,3*5
0,3*6

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0,329

o,33o

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0,33*

0,333

0,334

o,335
0,336
0,337
o,338
o,33 9

o,34o

o,3<

o,3,

o,343

o,344

0,345

0,346

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o,3,

0,349

o,35o

o,35

o f 352

o,353

o,354

o,355
0,356
o,357
o,358
0,359

o,36o

0,

7643
7610

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II. s.

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Ii. t.

II. s.

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D F. p.

[95]

SOUSTRACTION.

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II. s.

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o,336o
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0,3401
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0,3406
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26807
26798
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26*n3

IV
26764
26756
26747

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26730
26722
26713
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oo5
906
907
908
909

910

9»»
9,2

9' 3
9>4

9 i5
916

9'7
918

9*9

920
921
922
923
9^4

925

926

92

92!

929

$3o
93 1
932
9 33
934

935
936

&

9 3 9
94o

93 9 001

98 7770

g5o3 6485

95o8 5 146

95i 3 3752

95i8 23o4
9523 0801

9 5? 7 9 lï
9532 763,

9537 5

l->*.

9^4 8267

9 1M ÏÏV

9454 685 9

945Ô 6070

164 5227

2 4?5i

9552 o654
9556 8775
956i 6843

9566 4858
9571 2820
" '6 0729
9580 8585
9585 6388

9590 4i39
9595 i838

9599 9484
9604 -7078
9609 4620

961A 2109
9618 9547
9(Î23 6934
9628 4268
9633 i55i

9637 8783
96.^2 5963
9647 3092
9652 0170
q656 7197

9661 4i 7 3
9666 1099
9670 797Ï

"75 4798
80 1D71

9684 8295
9689 4968

_V* i59*
9698 8164
9703 4688

9708 1161
9712 j585
97 l l 395q
9722 0284
9726 6559

9731 2785

1-°*

973 1 2785
9735 8962
97^0 5ooo
97 A5 11 69
9749 7*99

975A 3i8i
9758 qiiA

97 S *88 3
58 o834

9772 6621

i36i
9781 8o52
9786 3695

9777
81

979O Q2Q0

9795

9800 0337

9804 5789

981? 655i'
9818 1861

22 7123

9827 233 9
983 1 7507
o836 2620
""o 770*

2731

9 !& 7 2', 3
9854 2647

9858 7536

9863 2378

9867 7>73
9872 1923
9876 6626
1 1284
9885 58o6

0462

- - Â 5 <*
9903 3885

9907 8269

9912 2608
9916 6901

99»' "49
9925 5352

99 2 9 9 5 - «o

99^

99

99'

99

99*>i

3623

7691

3 1715

7 5694

9629

9956 35 io
9960 7365
9965 11 67

S9 tià

9928 23o8
2 5q3/

9991 3o54
9995 6549

V. Table pour le calcul des logarithmes à 20 décimales.

[109]

NOMBRES.

I

5

4
S

a

i>9
i,8

i,7

i,5
i,4
i,3

1,09
1,08
1,07
1,06
i,o5
1,04
i,o3
1,02
1.01

1,009
1,008
1,007
1,006
i,oo5
1,004
i,oo3
1,002
1,001

9
8

7
6
5

4
3
a
1

LOGARITHMES.

95424

90308

84509
77815
69897

60205

4771a

30102

25094 39324
99869 91943

80400 14256
i25o3 83643
00043 36oi8
999*3 2796*
12547 19662
99956 63981

87459
58564
83o7*
6325i

80479
39043
4373o
19621

27875
25527
23044
204 11
17609
14612
u3 9 4
07918
04139

36009
25o5i
89213
998a6
12590
8o356
33523
12460
2685i

52828
o33o6
78273
55924
5568i
78238
o6836
47624
58225

96i54
06080
92854
78o85
24208
02593
76921
82772
04075

03742
3342
»938
253o
2118
1703
1283
0860
0432

64979
37554
37776
58652

9 2 99°
33392

72247
01717

13737

40623

86949
85209
64770
69938
98780
05172

61917
82642

63520
7023 1
64o83
24o85
07279
35485
20517
56io5
57428

00389 "662
346 o532i
3o2 94705
259 79807
216 60617
173 37128
i3o 09330
086 77215
o43 40774

36910
09506
536i8
19908
56507
09000
20418
31226
79318

52172
48616
00717
59231
67623

5^977
11 880

9*249
64067

00039 06892
34 72966
3o 38997
26 04985
21 70929
17 3683o
i3 02688
08 68502
04 34272

499 ïo
85363
84812
47390
7223o
58464
05227

11648
76862

i3io3
54069
49181
34682
20828
91882
06100
95723
66964

oooo3 90847
3 474^1
03995
6o568
17141
73714
30286
86858
43429

44584
68884
4976i
87215
81245
3i849
39028
02780
23 104

16739
o332o
39869
39548
i55i4
80922
48926
32676
453i 9

NOMBRES.

9

8

i 4

* 3
2

1

o
o
o

o
o

o

9
8

7
6
5

4
3
2

1

9
8

7
6
5

4
3
2
1

9
8

7
6
5

4
3
2
1

LOGARITHMES.

OOOOO 39086 32748 3o828
34743 41957 8767I

3o4oo 50733 15761
26057 59074 i5oii
21714 66980 85333
17371 74453 26642
13028 81 491 3885o
o8685 88095 21870
04342 94264 7 56i6

00000 03908 64857 82377
3474 35446 54844
3o4o o6o3o 93018
2605 76610 96898
2171 47186 66483
1737 17758 01775
i3o2 88325 02773
0868 58887 69476
0434 29446 01 885

00000 00390

347
3o4
260
217
173
i3o
086
043

865oi
43557
00612
57668
14723
71778
28834
85889
42944

61240

16252

66921

13247

55229

92869

26167

55i2i .

79732

00000 00039

34

3o
26
21

i3

08
04

o865o
74355
40061
05766
71472
37177
02883
68588
34294

3i954
841 33
36268
8836o
40409
92414
44376

96294
48169

00000 oooo3 90865 o3354
3 47435 58538
3 04006 13723
2 60576 68906
2 17147 24090
1 73717 79273
1 30288 34455
o 86858 89637
o 43429 44819

00000 00000 39086 5o337
34743 55855
3o4oo 61373
26057 66891
21714 72409
I737I 77928
13028 83446
o8685 8^964
04342 94482

NOMBRES.

LOG.

NOMBRES.

LOG.

NOMBRES.

LOG.

NOMBRES.

I

9

m...

045...

I

7

142...

154...

I

5

200

3oi . . .

3

333...

1

8

125

O96...

1
6

166...

321 . . .

4

250

397...

1
3

5oo

522..

[HO]

VI. — Table de logarithmes

X.

4

0000

.04 1 4

0792
1139
1461

1761
2041
23o4
2553
2788

3oib

3222

34*4

3617

38o2

3979

4i5o

tt.4

/,472
4624

477J

49»4

5o5i
5i85
53i5

544i
5563
5682
5 79 8
591 1

6021
6128
6232
6335
6435

6532
6628
6721
6812
6902

6990
7076
7160
7243
7324

oo43
o453
0828
1173
1492

1790
2068
233o
25 77
2810

3o32
3243

3444
3636
3820

6542
663 7
6730
6821
691 1

a

7168
7251
7332

0086
0492
0864
1206

i523

1818
2095
2355
2601
2833

3o54
3 2 63
3464
3655
3838

iOlA

4Ï6Ô 4i83

433o 43 {6

4487 4502

4639 4654

786 4800

,928 494a.

5o65 5079

5198 5211

5328 534o

5453 5465

5575 5587

5694 570S

5809 5821

5922 5933

6o3i 6042

6i38 6i4q

6243 6253

6345 6355

6444 6454

655 1
6646
6739
683o
6920

700-7
709J
7177
7259
7340

0128 0170

o53i o56o

0899 0934

1239 1271

i553 i584

1847 ,8 75

2122 2148

2 3 80 2405

2625 2648

2856 2878

3075 3og6

3284 33o4

3483 3502

3674 3692

3856 3874

4o3i
4200
4362
45i8
4669

4o48
J216
4378
Ï533

4829

49 6 9

5092 5io5

5224 5207

5353 5366

5478 5490

5599 56 11

5^32 5^3

5g44 5g55

6o53 6064

6160 6170

6263 6274

6365 63 7 5

6464 6474

656i
6656

6749
683o
6928

7016
7101
7 i85
7267
734e

65 7 i
6605
6 7 58
6848
6937

7024
7110

7'9?
7275
7 356

8

9

0212 0253

0607 0645

0969 1004

i3o3 i335

1614 1644

1903 ig3i

2175 2201

243o 2455

2672 2695

2900 2923

3n8 3i3o

3324 334§

3522 3541

37 11 3729

3892 3909

4o65 4082

4j32 4249

4393 4409

4548 Z564

4698 47«3

4843 4857

4g83 4997

5lI9 5l32

525o 5263

5378 5391

55o2 55 14

5623 5635

57^0 5752

5855 5866

5 9 66 5977

6075 6o85

6180 6191

6284 6294

6385 63g5

6484 ' 6493

658o 6590

66 7 5 6684

6857 6866

6946 6955

70Î3 7042

7118 7126

7202 7210

7284 7292

7364 7372

0294 o334

0682 0719

io38 1072

i36t 1390

1673 1703

1959 1981

2227 2253

2480 25o4

2718 2742

2945 2967

3i6o 3i8i

3365 3385

356o 3579

3747 3766

3927 3945

4099 Ai 16

4265 £281

44^5 A440

4570 45q4

4728 474 2

4871 4886

5oi 1 5024

5i45 5i5 9

5276 5289

54o3 54i6

5527 5539

5647 5658

5763 5775

587-7 5888

5988 5999

6096 6107

6201 6212

63o4 63 14

64o5 64 1 5

65o3 65i3

6599 6609

66o3 6702

6785 6794

6875 6884

6964 6972

7o5o
7 i35
7218
73oo
738o

7 o5o
714S
7226
73o8
7 388

0374
0755
1106
i43o
1732

2014
2279
2529

2765
2989

3201

3404
3598

3784
3962

4.33
4298
4436
4609
4707

4900
5o38
5172
53o2
5428

555i
5670
5 7 86
58 9 9
6010

6., 7

6222

6325
6425

6522

6618

6712
68o3
68()3
6981

7067
702
7235
7 3i6
7396

Part, proport.

43 1 42

4l

*,3 , 4,2

4,1

8,6 8,4

8,2

15,9 12,6

12,3

17,2 16,8

16,4

21,5 21,0

20,5

25,8 1 25,2

24,6

30,1 29.4

28,7

34,4 88,6

32,8

38,7 1 87,8

86,9

39

38

37

3,9

3,8

3,7

7,8

7,6

7,4

11,7

11,4

11,1

15,6

15,2

14,8

19,5

19,0

18.8

23,4

22,8

2?,S»

27 8

26,6

55,9

31,2

30,4

29,6

35,1

34,2

33,3

36

35

34

8,6

3,8

3,4

7.8

7,0

6,8

10,8

10,5

10,2

14,4

14,0

î3,6

18,0

17,5

17,0

21,6

21.0

?0,4

25,2

24,5

23,8

28,8

28,0

27,2

92,4

81,6 30,6

33

32

3i

8,8

3,2

3,1

6,6

6,4

6,2

9,9

9,6

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Table de Logarithmes à

trois décimales

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Table d'anti-logarithmes

à trois décimales.

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2825 283 1

2891 2897

2958 2965

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2o56 2061

2104 2109

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22o3 2208

2254 2259

2307 23 12

236o 2366

24i5 2421

2472 2477

2529 a535

2588 2594

2649 2655

2710 2716

2773 2780

2838 2844

2904 291 1

2972 2979

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2371 2377

2427 2432

2483 2489

2541 2547

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2661 2667

2723 2729

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à quatre décimales.

[113]

II.

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5,1445 5401 60
4,7046 3oio o5
A,33i4 ^582 43
4,0107 809$ 35

0,9848 0775 3o
0,9816 2718 34
0,9781 47G0 07
0,9743 7006 àè
0,9702 9572 G3

80

*

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0,3756 3735 58
0,2923 7170 £7
o,3ogo 1699 44
o,3a55 C8i5 45

0,2679 49'9 24
0,2867 4538 58
o,3o57 3o68 i5
0,3249 1969 62
0,3443 2761 33

3,7320 5o8o 76
3,4874 1444 38
3,2708 5261 85
3,0776 8353 72
2,9042 1087 77

0,9659 a58a G3
0,9612 6tGg 59
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0,9510 565i 63
o,9455 1857 56

71
V

20

ai

22
23

24

0,3420 2014 33
o,3583 6794 95
0,3746 0659 3 4
0,3907 3ii2 85
0,4067 3664 3i

o,363o 7023 43
0,3838 64o3 5o
0,4040 2622 58
0,4244 7481 62
0,4452 2868 53

3,7474 774i 9 5
2,6o5o 8906 47
2,4 7 5o 8685 H
2,3558 5236 58
2,2460 3677 39

0,9396 9262 08
0,9335 Sofia 65
0,9271 8385 46
0,9205 04 85 35
o,9i35 45/j5 76

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25
26

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29

0,4226 1826 17
o,£383 71 14 68
o,453q 9049 97
0,4694 7i56 28
0,4848 0962 02

o,4663 0765 82
0,4877 3258 86
0,5095 25j}4 95
o,53i7 0945 17
o,5543 0905 r5

2,i445 0692 o5
2,o5o3 o384 16
1,9626 io5o 55
1 ,8807 2646 53
1,8040 4775 53

o,oo63 0778 70
0*8987 94^4 63
0,8010 mi:." ■• 43
°>882Q 4 7 5g 29
0,8746 1970 71

65
64
63
62
61

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32

33
34

o,5ooo 0000 00
o,5i5o 3807 49
0,52QQ '920 4 2
0,5446 3903 5o
0,5591 9290 35

0,5773 5026 92
0,6008 6061 90
0,6248 6935 19
0,6494 0759 32
0,6745 o85i 68

1,7320 5o8o 76
1,6642 7948 24
i,6oo3 3452 90
1 ,5398 6496 38
i,4825 6096 85

0,8660 254o 38
o,852i 6730 û 7
0,8480 4809 62
0,8386 7o56 79
0,8290 3757 36

60

II

35
36

II
39

0,5735 7643 64
0,5872 * 525 23
0,6018 l502 32
o,6i56 6147 53
0,6293 3009 10

0,7002 0753 82
0,7265 4252 80
0,7535 54o5 01
0,7812 8562 65
0,8097 84o3 32

1,4281 4800 67
1,3763 8192 o5
1,3270 4482 16
1,2790 4î63 22
1,2348 9715 65

0,8191 5ao4 A3
0,8000 1699 44
0,7986 355 1 00
0,7880 1075 36
0,7771 4596 i5

55
54
53
5 3
5i

40

1;

0,6427 8760 97
o,656o 5902 90
0,6691 3o6o 64
0,6810 o836 01
0,6946 5837 o5

0,8390 qq63 12
0,8692 8673 78
0,9004 0404 43
0,9325 i5o8 61
o,9656 8877 48

1,1917 5359 26
1,1 5o3 6840 72
1,1106 12S1 48
1,0723 6871 00
i,o355 3o3i 38

0,7660 4444 3i
0,7547 oosa 02

0,7431 4482 55
o,73i3 5370 16
0,7193 3980 03

5o

i

1

45

0,7071 0678 12

1,0000 0000 00

1,0000 0000 00

0,7071 0678 12

45

Cosinus.

Cotangente.

Tangente.

Sinus.

0,00

02 Q088 82
05 8l22 64
08 7266 45

1 1 6355 26
14 5444 °5
17 4532 84
20 3621 61
23271036
26 ï299<>9
29 0887 80
3i 9976 48
34qo65 14
37815327
4o 7242 37
43 6330 93

Tang ' Sinus. Tang.

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5 34
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63 9949 09
66 9037 89
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72 7214 11
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78 5390 09

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Degrés.

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o f o523
0,0698
0,0872

0,1047
0,1221
0,1396
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0,6981
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5329 25

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5087 76
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6646 26
1075 5i
7304 76
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79 63 27
3292 52
6585 04
0877 56
317008
6462 60
2925 20

Minutes.

0,0
002 9088 8a
oo5 817764
008 7266 46
on 6355 28
014 5444 '0
017 /5532 93
020 5621 25
023 2710 07
026 17QQ 39
0290888 21
o58 177642
087 2664 63
1 16 3552 83

145 444 1 04

290 8882 09

Secondes,

0,000
0048481
o 0969 63
o 1454 44

o 193Ô 25
o 2424 07
o 2908 88
o 3393 70
o 3878 5i
o 4363 32
o 4848 14

9696 27

14544 4'

1 9392 55
a 4240 68
4 8481 37

FIN.

LIBRAIRIE DE GAUTHIER-VILLARS,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,

QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55, A PARIS.

ATLAS CÉLESTE

CONTENANT

PLDS M 100000 ÉTOILES ET NÉBULEUSES

DONT LA POSITION EST RÉDUITE AU 1 er JANVIER 1860,
D'APRÈS LES CATALOGUES LES PLUS EXACTS DES ASTRONOMES FRANÇAIS ET ÉTRANGERS,

Par Ch. DIEN.
AVEC UWE INTRODUCTION

Par M. BaBINET,

Membre de l'Institut impérial de France.

Atlas in-folio de 26 planches gravées sur cuivre, dont 3 doubles.
Cartonné, toile pleine 35 fr.

Prix : , „

Relie avec luxe, demi -chagrin 4o fr.

envoyant à l'Éditeur un mandat sur la Porte ou une râleur sur Paris,
l'ouvrage sera expédié franco dans toute la France.

AVERTISSEffiFJVT.

Cet Atlas, le seul qui soit publié en France, contient plus de ioo ooo Étoiles
et Nébuleuses, dont 5oooo ont été observées à Paris, par le célèbre Jérôme
de Lalande; il se compose de a6 Cartes dont la projection est le dévelop-
pement d'une sphère de 65 centimètres de diamètre. Le genre que j'ai
adopté pour la gravure a aussi été l'objet de perfectionnements. Ces amélio-
rations consistent :

i° Dans l'étendue modérée et très-commode du format;

a° Dans la division des Cartes, dont la surface présente un réseau de de-

grés suffisamment étendu pour recevoir sans confusion toutes les Étoiles
jusqu'à la 9 e grandeur inclusivement, ainsi que les Étoiles doubles, les Étoiles
multiples et les Nébuleuses ;

3° Dans l'indication plus exacte de l'éclat des Étoiles, qui sont figurées
par des disques plus ou moins forts, ayant de petits traits ou rayons dont le
nombre indique la grandeur : pour la i w un trait, pour la a* deux traits, etc.;
et dans l'indication des Nébuleuses, des Étoiles doubles et multiples, des
Étoiles variables, des Étoiles périodiques, etc., au moyen de signes conven-
tionnels dont l'explication est donnée par la légende placée au bas de la
Carte A; en particulier, les Étoiles doubles sont indiquées par un trait
incliné, et les Étoiles triples, quadruples et quintuples par deux, trois et
quatre traits. J'ai aussi tracé, des figures géométriques liant de la manière
la plus naturelle les principales Étoiles de chaque Constellation, afin d'en
faciliter l'étude.

Mes Cartes s'étendent à toute la surface du Ciel, et non pas seulement à
une zone restreinte voisine de l'équateur ou de l'écliptique, et elles contien-
nent la presque totalité des Etoiles des Catalogues les plus récents que nous
devons à de Lalande, Herschel I, Piazzi, Harding, Struve, Bessel, Hers-
chel II, Groombridge et Argclander. Pour les Constellations australes, j*ai
eu recours* aux Catalogues de Lacadle et Brisbane.

Les Étoiles ont été réduites au 1" janvier 1860, et déterminées avec soin
sur les cuivres originaux. Afin de ne laisser aucune chance à l'erreur, j ai
préalablement dressé des Cartes manuscrites et individuelles pour chaque
Catalogue; ce travail, qui a été fort long, me permet de reconnaître immé-
diatement toutes les Étoiles de mes Cartes, et d'éviter les doubles emplois
et les inexactitudes qui résulteraient autrement de la réduction des Catalo-
gues ou bien môme de la gravure.

A la suite des 25 Cartes principales, destinées à donner l'exposition géné-
rale des Constellations, j'ai placé la grande Carte du Pôle austral, sur
laquelle j'ai déterminé directement la position de toutes les Étoiles du Cata-
logue de Brisbane.

Dans l'Introduction qui précède l'Atlas, et que M. Babinet, membre de
l'Institut, a bien voulu rédiger, ce Savant passe successivement en revue
les diverses Cartes et indique ce que les Constellations contenues dans cha-
cune d'elles présentent de plus intéressant.

Je ne puis terminer ce long travail sans exprimer ma respectueuse recon-
naissance aux Astronomes éminents qui, par leurs conseils et leurs travaux,
m'ont puissamment aidé dans l'exécution de cet Atlas :

A MM. Arago et Struve I, pour les fréquents encouragements et les
précieux avis qu'ils m'ont donnés;

A M. Le Verrier, pour l'autorisation qu'il m'a accordée pendant plu-
sieurs années d'étudier le Cie] d'une mauière plus approfondie à l'Observa*
toire impérial de Paris; l'illustre Directeur a bien voulu, de plus, présenter

_ 3 —

cet Atlas au Conseil de l'Instruction publique qui, sur son Rapport, Ta
honoré d'une souscription ;

* A M. Faye, qui a eu la bonté de laisser à ma disposition, pendant de lon-
gues années, des Catalogues d'Étoiles et des Cartes d'une importance extrême
pour l'exécution de l'Atlas céleste.

Ch. Dien.

CARTES COMPOSANT CET ATLAS.

A Hémisphère boréal (Carte double). — fi Hémisphère austral (Carte
double). — i Petite Ourse, Dragon. — a Andromède, Cassiopée, Persée. —
3 Girafe, Cocher, Lynx. — 4 Grande Ourse, Petit Lion. — 5 Chevelure de
Bérénice, Lévrier, Bouvier, Couronne boréale. — 6 Dragon, Carré d'Hercule,
Lyre. — 7 Hercule, Ophiuchus, Serpent. — 8 Cygne, Lézard. — 9 Aigle et
Antinous, Dauphin, Petit Cheval, Renard, Flèche, Pégase. — 10 Bélier, Tau-
reau. — 11 Gémeaux, Cancer, Petit Chien. — 12 Lion, Sextant, Tête de
l'Hydre. — i3 Vierge. — 14 Balance, Serpent, Hydre. — i5 Scorpion,
Ophiuchus, Serpent. — 16 Sagittaire, Couronne australe. — 17 Capricorne,
Verseau, Poisson austral. — 18 Poissons, Carré de Pégase. — 19 Baleine,
Atelier du Sculpteur.— 20 Éridan, Lièvre, Colombe. — 21 Orion, Licorne. —
22 Grand Chien, Navire, Boussole. — a3 Hydre, Coupe, Corbeau. — a4 Con-
stellations voisines du Pôle austral (Carte double).

EXTRAIT DE 1/IJtf TROOTJCTIOItf.

Pour reconnaître dans le Ciel les Constellations et les principales Étoiles
ainsi que la marche des Planètes, il est indispensable d'avoir des Cartes
qui indiquent les différents groupes qui caractérisent les diverses régions
du Ciel étoile. Des figures d'hommes, d'animaux, d'êtres fantastiques, que
Ton met en rapport avec chaque ensemble d'Étoiles appelé Constellation ou
Astérisme, n'ont la plupart du temps aucune ressemblance avec les objets
dont ils portent le nom ; mais ces dénominations datent d'une si haute anti-
quité, qu'on a vainement essayé d'y substituer d'autres divisions moins arbi-
traires et moins bizarres. La Grande et la Petite Ourse, Pégase, Andro-
mède, Cassiopée, Persée, le Bélier, le Taureau, le Lion, la Vierge, la Balance,
le Scorpion, Orion, le Grand et le Petit Chien resteront en possession de
notre Ciel comme de celui de l'antiquité, depuis la Bible, Homère, Hipparque
et Ptolémée.

Je ne dois considérer ici l'Atlas de M. Dien que sous le rapport de la con-
naissance des Étoiles les plus apparentes, des amas d'Étoiles et des Nébu-
leuses ; mais il est nécessaire d'ajouter que cet immense travail répond en
outre aux besoins bien plus importants de l'Astronomie scientifique.

Nous devrons à M. Gauthier- Villars la publication de ce grand travail dont

— 4 —

la perte eût été un malheur pour l'Astronomie. Cet Éditeur, ancien élève de
l'École Polytechnique, débute ainsi sur les traces de la maison Mallet-Bache-
lier qui, avec ses deux prédécesseurs, Courcier et Bachelier, a rendu aux
Sciences, avec un grand désintéressement, des services dont le détail serait
ici trop long. Le Catalogue de cette maison offre le tableau du mouvement
scientifique de la France pendant plus d'un demi-siècle.

Avant d'examiner au point de vue le plus vulgaire l'Atlas' de M. Dien, j'in-
diquerai quelques-uns des usages les plus relevés auxquels on peut l'employer
d'après le grand détail de ses Cartes et le nombre immense d'Étoiles de
toutes grandeurs qui y sont inscrites. Le grand soin qu'il a apporté à placer
toutes les Nébuleuses rend cet ouvrage unique pour la recherche des Comètes,
que l'on confond souvent avec ces faibles lueurs qui sont fixes. On cherche-
rait en vain ces indications dans les autres Atlas publiés jusqu'ici. La grande
échelle des Cartes permet aussi de pointer chaque jour la marche de tous
les Astres mobiles tels que Planètes, Comètes et petites Planètes. Ces Cartes
servent aussi à trouver sans trop de peine Uranus et Neptune et à prévoir les
occultations d'Étoiles par la Lune; en un mot, toute l'Astronomie non
télescopique.

Je dirai d'abord que pour reconnaître les Constellations, il faut commencer
par celles du Nord, parce que celles qui sont vers- le Sud sont souvent tra-
versées par les Planètes qui pourraient être prises pour des Astres fixes et
troubler la configuration marquée sur les Cartes. Il est souvent arrivé que
des personnes peu expérimentées ont cru voir surgir de nouvelles Étoiles
dans certaines régions du Zodiaque, près de l'écliptique : c'étaient des Pla-
nètes qui s'y trouvaient accidentellement. Les Planètes se distinguent facile-
ment des Étoiles fixes parce qu'elles n'ont point cette scintillation incessante
qu'offrent les Étoiles, et rien n'est plus curieux que de suivre pour Vénus,
Mars, Jupiter et Saturne leur marche compliquée dans le Ciel en les rappor-
tant aux Étoiles fixes. Ces Planètes sont tantôt en marche vers l'Orient,
comme le Soleil et la Lune, tantôt stationnaires, tantôt rétrogrades vers
l'Occident par des périodes qu'explique facilement le déplacement annuel de
la Terre autour du Soleil ; mais la vérification de ces indications est une des
choses les plus intéressantes pour l'Astronomie à l'œil nu et sans instru-
ments, comme était celle des anciens Chaldéens et des premiers Égyptiens.

Sur les grandes Cartes détaillées de notre Atlas, les figures ne sont pas
dessinées. On y a suppléé par deux Planisphères, où Von trouvera ces figures
appliquées aux groupes des Étoiles principales pour l'hémisphère Nord et
l'hémisphère Sud. Il sera bon de rattacher l'aspect des Constellations plutôt
aux figures géométriques des lignes qui joignent les Étoiles qu'aux animaux
et objets de l'ancienne Astronomie grecque avec les adjonctions récentes.

BAMNET (de l'Institut).

1

— 5 —

Extrait des Comptes rendus des Séances d&. l'Académie des
Sciences du 27 mars i865.

« M, Babinet présente avec de grands éloges V Atlas céleste
de M. Dien, qui comprend une quantité innombrable d'Étoiles
de toute grandeur placées sur des cercles horaires très-rappro-
chés les uns des autres. Ce travail, qui a occupé la vie entière de
M. Dien, a été plusieurs fois sur le point d'être publié aux frais
de l'État. Les positions y sont marquées pour 1860 et n'auront
pas besoin de correction jusqu'en 1900 et au delà. Cet ouvrage
s'adresse aussi bien aux Astronomes de profession qu'aux sim-
ples amateurs qui veulent reconnaître les Étoiles et les Constel-
lations et suivre les Planètes et les Comètes dans leur marche
au travers du Ciel. L'Auteur a dépouillé tous les Catalogues
connus, et l'étude de ces Cartes fournit une quantité de données
précieuses pour la connaissance du Ciel.

» Il y a une très-bonne Carte du Ciel austral circompolaire.

» M. Dien a lui-même observé pendant de longues années. Il
cite parmi les Astronomes qui lui ont fourni des conseils et des
encouragements :

» Arago et Struve père (William);

M. Le Verrier, qui avait obtenu pour son Atlas une sous-
cription du Ministère de l'Instruction publique ;

9 Et M. Faye, qui lui a communiqué de précieux Catalogues
et les a laissés longtemps à sa disposition.

d Je puis attester, d'après ma connaissance personnelle, que
M. Dien n'a nullement exagéré tous les témoignages d'estime et
tous les encouragements que pendant de longues années il a
reçus de tous côtes.

» On doit savoir gré à l'éditeur, M. Gauthier-Villars, d'avoir
mis en lumière Y Atlas de M. Dien. M. Gauthier-Villars continue
la maison Mallet-Bachelier qui, par ses publications souvent
désintéressées, a contribué pendant plus d'un demi-siècle à
rendre aux Sciences mathématiques les services les plus si-

6 —

Extrait du Bulletin de l'Association Scientifique, numéro
d'avril i865 (M. Le Vbrrieb, Président),

« La puissante impulsion que l'Association Scientifique est destinée à donner
en France à l'étude de l'Astronomie commence déjà à se faire sentir. La
vue des grands instruments de l'Observatoire, un coup d'oeil jeté dans le
ciel à travers les gigantesques télescopes de M. Foucault, les entretiens men-
suels des Associés sur les découvertes incessantes de l'Astronomie, ont déjà
révélé à plus d'un sa vocation de chercheur de Planètes et de Comètes. Or
que faut-il pour cela? Une bonne lunette de quatre pouces, un bon Atlas et
beaucoup de patience. Avec ces éléments, notre infatigable explorateur,
M. Goldschmidt, a déjà, en dix années, découvert 14 petites Planètes. Il
est vrai qu'il a, lui, son Atlas dans la tête. Pour les néophytes de la science,
pour les mémoires moins admirablement douées, M. Dien vient de publier
un magnifique ATLAS de a6 Cartes, comprenant 100 000 Étoiles. C'est un
recueil d'une haute valeur, dont l'utilité sera appréciée non-seulement par
les amateurs, mais aussi par les Observatoires. »

Extrait de la Presse scientifique des Deux Mondes
du 16 mars i865.

« Nous nous empressons de signaler à nos lecteurs l'apparition de X Atlas
céleste de M. Ch. Dien, ouvrage d'une exécution irréprochable, qui va rapi-
dement conquérir une place d'élite dans la faveur du public éclairé.

» La partie vitale de cette oeuvre exceptionnelle, à laquelle M. Ch. Dien
a consacré trente années de travaux opiniâtres, se compose de vingt-six
magnifiques planches grand aigle, gravées par M. Ch. Dien lui-même avec
la délicatesse qu'un auteur amoureux de son art peut apporter au monu-
ment de sa vie entière. Nous ne pourrions en faire un meilleur éloge que de
répéter ce que disait naguère, à ce propos, un illustre Astronome : « V Atlas
» céleste mériterait certainement d'être appelé la carte routière du firma-
» ment. »

» Rien n'est plus exact que cette exclamation, qui au premier abord
semble paradoxale. En effet, avec un guide aussi sûr que les Cartes de
M. Dien, où toutes les Nébuleuses connues sont marquées avec un soin minu-
tieux, il est impossible de ne pas reconnaître les Comètes à leur état nais-
sant, c'est-à-dire lorsqu'elles commencent à pénétrer dans les sphères où se
meut notre véhicule cosmique.

» Tous les amateurs qui consulteront V Atlas céleste avec intelligence
pourront donner la chasse aux petites Planètes. Rien ne les empêchera, en y
joignant les Éphémérides de la Connaissance des Temps ou du Nautical

_ 7 —

Almanae^ de suivre les évolutions de la turbulente démocratie- sidérale, com-
prise entre l'orbe do Jupiter et celle de la Planète Mars.

» Nous sommes donc persuadés que tous les membres de Y Association
pour le progrès des sciences, qui prennent leur titre au sérieux, se muni-
ront de Cartes que Ton doit considérer comme au moins aussi indispensables
qu'une lunette astronomique. Les amateurs les préféreront même aux Caries
écliptiques de Berlin, qui ne sont pas plus exactes certainement, et qui sont
surchargées de détails invisibles pour les instruments usuels avec lesquels
il est bon de débuter dans la carrière d'observateur.

» Jusqu'à ce jour tous les auteurs se sont à peu près bornés à étudier les
régions zodiacales, ces plages célestes où se croisent les orbes des Planètes
principales; M. Ch. Dien est le premier astronome qui se soit franchement
écarté des errements des Grecs et qui ait apporté la même rigueur à la des-
cription de toutes les régions du Ciel. Pourquoi toutes, en effet, ne seraient-
elles point égales devant nos télescopes? Aussi Y Atlas céleste sera- 1- il dans
les mains de tous les Astronomes de profession pour l'étude des régions po-
laires boréales ou australes. Ils y trouveront pour le Ciel antarctique une
Carte double dressée d'après les observations de Brisbane, et contenant avec
leur valeur et leur situation exacte toutes les Étoiles mentionnées dans ce
précieux Catalogue.

» Ce n'est pas tout, car Y Atlas céleste forme un album digne de figurer
sur la table de nos salons élégants. En feuilletant les splendides planchés où
M. Dien a mis tout son art, plus d'une femme de goût et d'esprit se sentira
transportée d'un véritable zèle astronomique. Elle voudra rivaliser de science
avec la belle marquise, aimable complice du bon Fontenelle.

» Comparez la multitude des Soleils qui forment la zone lactée, avec les
espaces ravagés du pôle Sud, ces trous noirs voisins des nuées magellaniques.

» En regardant les Pléiades vous voyez un canton aussi peuplé de Soleils
que l'est une capitale de notre civilisation; tournez-vous vers la Croix du
Sud, et vous trouverez des plages désertes comparables au Sahara.

» Nous nous sentons fier des prodiges de l'art humain, en feuilletant le
volume où sont concentrés les principaux éléments géographiques de notre
archipel, immense tas de Soleils, tellement grand qu'il faut à la lumière
quatre cent cinquante ans pour le traverser sur sa petite épaisseur l Dire
que c'est pendant trois ou quatre mille ans que le rayon doit voyager s'il
s'engage maladroitement dans la longueur 1

» M. Dien se serait égaré au milieu des vingt millions d'Étoiles que. nos
Astronomes peuvent apercevoir dans notre groupe stellaire avec les grands
instruments dont ils disposent; bien faible fraction cependant de ceux qui y
vivent réellement. Mais il a sagement borné son ambition à marquer la place
des Soleils importants pour nous, c'est-à-dire de l'état-major de cette magni-
fique armée céleste, laquelle n'occupe qu'un coin du firmament. Il a pris
toutes les grosses Étoiles, celles qui sont comprises dans les neuf premières
grandeurs, excluant toutes celles dont l'éclat est moindre, soit parce qu'elles

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sont exilées près des frontières de notre groupe, soit parce qu'elles sont le
siège d'actions peu énergiques, soit parce que leur diamètre est insignifiant
pour un Soleil.

» Centuplez le nombre des Étoiles visibles par une belle nuit d'hiver,
lorsque le Ciel est bien transparent, que la Lune est nouvelle et que notre
Soleil à nous se trouve près du méridien inférieur, vous aurez une idée du
nombre des Astres d'élite que M. Bien a enregistrés. Ce sont les officiers
de ces braves compagnons d'armes de notre Soleil, qui combattent comme
lui contre les mêmes ténèbres, qui se réchauffent les uns les autres, qui
semblent au moins s'exciter à maintenir l'éternelle protestation de la lumière
contre le néant.

» Les changements de situation sont si lents à se produire dans les rangs
de la divine phalange, que Y Atlas de M. Dien servira pour la configuration
des Astérismes jusqu'au, I er janvier 1900; alors de légers changements devien-
dront nécessaires. Il n'y a, chose étrange 1 que la teinte des Étoiles, que leur
valeur lumineuse, qui varie avec une rapidité effrayante. Étonnante contra-
diction renversant sans doute toutes les idées que nous sommes parvenus à
nous faire de leur naturel Le mouvement des corps disparaît pour nous;
nous ne constatons que les vicissitudes de la lumière, et celles-là peut-être
d'autant mieux que nous sommes plus éloignés 1

» Les Cartes de M. Dien portent des signes particuliers qui permettent de
reconnaître les Étoiles remarquables par suite de quelque circonstance phy-
sique particulière. *

» En les parcourant même à la hâte, l'œil intelligent retrouve la place des
Soleils qui méritent d'attirer l'attention d'une manière spéciale. L'Atlas
céleste contient, en outre, quelques planches accessoires parmi lesquelles
nous citerons deux Planisphères : l'une du Ciel austral et l'autre du Ciel
boréal. Ajoutons la Carte déjà signalée plus haut pour le Catalogue de Bris-
* bane, Astronome anglais qui s'est spécialement occupé de l'étude, des
1 Étoiles voisines du Pôle antarctique. Avant de reporter ses résultats sur les
cuivres où ils devaient être fixés, M. Dien a comparé pour chacune de ses
cent mille Étoiles les Catalogues. des deux Herschel, de Piazzi, d'Arge-
lander, etc., etc.;grâce à l'obligeance avec laquelle M. Le Verrier a mis à sa
disposition les instruments de l'Observatoire, il a pu interroger le Ciel pour
recevoir la réponse directe à tous les cas douteux, pour les Étoiles qui sont
visibles à Paris. Il a en outre été honoré des conseils personnels de
MM. Arago, Le Verrier et Faye, qui lui ont confié des notes et des cahiers
d'observations.

» Une partie du mérite de l'œuvre revient donc aux Savants éclairés
chez lesquels il a trouvé un si bienveillant concours. »

IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS, successeur de M ALLET-B ACHEL1ER .
Paris, rue de Seine-Saint-Germain, io, près l'Institut.

LIBRAIRIE DE GAUTHIER-VILLARS,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,

QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55, A PARIS.

BALTZER (D r Richard), Professeur au Gymnase de Dresde. — Théorie
et applications des Déterminants , avec l'indication des efforces
originales, traduit de l'allemand, par «/. Hoiïel, Docteur es Sciences.

In-8; 1861 5 fr .

BIEN. — Atlas céleste,- contenant plus de iooo'oo Étoiles et Nébuleuses*
In-folio de 26 planches gravées sur cuivre, dont trois doubles, avec une
Introduction par M. Babinet, Membre de l'Institut ; i865.

Prix : Cartonné, toile pleine 35 fr.

Relié avec luxe, demi-chagrin 4° fr.

DUHAMEL, Membre de l'Institut. — Des Méthodes dans les sciences de

raisonnement. % vol. in-8; 1865-1866 10 fr.

On vend séparément :
Première Partie : Des Méthodes communes à toutes les sciences de

raisonnement. In-8; i865 a fr. .5o c.

Deuxième Partie : Application des Méthodes à la science des nom-
bres et à la science de l'étendue. In-8, avec figures dans le texte;

1866 7 fr. 5o c.

FAVRE (P.-A. j, Correspondant de l'Institut (Académie des Sciences), Pro-
fesseur de Chimie à la Faculté des Sciences de Marseille. — Aide-Mémoire
de Chimie à l'usage des Lycées et des établissements secondaires,
rédigé conformément au Programme du Baccalauréat es Scie nets. In-8,

avec Atlas de 14 planches renfermant 117 figures ; 1864. 5 fr.

M. Dumas, Membre de l'Institut, en présentant V Aide- Mémoire de Chimie de
M. Favrc à l'Académie des Sciences, s'est exprimé ainsi : « L'Auteur a complète-
» ment atteint le but qu'il s'est proposé; son livre sera indispensable et an Profes-
» seur qui prépare la leçon de Chimie, et à l'Auditeur qui l'écoute, et à l'Élève qui
» subira demain son examen. »

PETIT (F.), Correspondant de l'Institut, Directeur de l'Observatoire de
Toulouse, Professeur à la Faculté des Sciences. — Traité d'Astronomie
BOUT les gens du monde, avec des Notes complémentaires pour les
Candidats au Baccalauréat, aux Écoles spéciales et à la Licence es Sciences
mathématiques. 2 volumes in-18 jésus, avec' 286 figures dans le texte et •

une Carte céleste ; 1 866 , 7 fr .

ROUCHÉ (Eugène) et DE GOMBEROUSSE (Charles). —Éléments de Géo-
métrie entièrement conformes aux derniers Programmes d'enseignement
des classes de troisième, de seconde, de rhétorique et de philosophie,
suivis d'un Complément à l'usage des Élèves de Mathématiques élémen-
taires et de Mathématiques spéciales et de Notions sur j.e lever des

plans et l'arpentage. In-8 ; 1 867. 5 fr .

Ces nouveaux Éléments de Géométrie (qu'il ne taut pas confondre avçc le
Traité de Géométrie élémentaire des mêmes auteurs) sont entièrement conformes
aux derniers Programmes ofliciels. ils renferment toutes les parties de la Géométrie
enseignées successivement dans les établissements d'instruction publique, depuis
la classe de troisième jusqu'à celle de mathématiques spéciales inclusivement, et
sont destinés aux élèves appelés à suivre ces différents cours.

SCHRON (L.), Directeur de l'Observatoire et Professeur à Iéna. — Tables
de Logarithmes à sept décimales pour les nombres depuis 1 jusqu'à
108000, et pour les fonctions trigonométriques de dix secondes en dix
secondes, précédées d'une Introduction par /. Hoiïel, Professeur de
Mathématiques à la Faculté des Sciences de Bordeaux. 6 e édition stéréo-
type, revue et corrigée; un beau volume grand in-8 jésus; 1866* 7 fr.

SCHRON (L.). — Table d'interpolation pour le calcul des parties pro-
portionnelles, faisant suite aux Tables de Logarithmes à sept décimales,
précédée d'une Introduction par /. Hoiïel, Professeur de Mathéma-
tiques à la Faculté des Sciences de Bordeaux. 6 e édition stéréotype, re-
vue et corrigée ; grand in-8 jésus ; 1866 3 fr.

IMPRIMERIE DE GAUTHIER -V1LLARS, successeur de MALLET-BACHELIER .

Paris, rue de Seine-Saint-Gcrmain» 10, près l'Institut.

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